Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{a} {(1 - x)}^{b}$ , $0 \leq x \leq 1$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{a}$ e $g (x) = {(1 - x)}^{b}$ .

$x^{a} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{b}] + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{b}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$x^{a} (\frac{d}{d u} [u^{b}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = b$ .

$x^{a} (b u^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- 1 \cdot 1)) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \cdot - 1) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.3.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $b {(1 - x)}^{b - 1}$ .

$x^{a} (- 1 \cdot (b {(1 - x)}^{b - 1})) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.3.6.3

Reescreva $- 1 b$ como $- b$ .

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

Etapa 1.1.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = a$ .

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} (a x^{a - 1})$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.4.1

Reordene os termos.

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$

Etapa 1.1.1.4.2

Reordene os fatores em $- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$ .

$f' (x) = - b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$ .

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b} = 0$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{a} {(1 - (0))}^{b}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.1

Subtraia $0$ de $1$ .

$0^{a} \cdot 1^{b}$

Etapa 2.1.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$0^{a} \cdot 1$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $0^{a}$ por $1$ .

$0^{a}$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{a} {(1 - (1))}^{b}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 {(1 - (1))}^{b}$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique ${(1 - (1))}^{b}$ por $1$ .

${(1 - (1))}^{b}$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(1 - 1)}^{b}$

Etapa 2.2.2.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$0^{b}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0^{a}), (1, 0^{b})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 4