Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ , $[0, 2 π]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\cos (x) - \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\cos (x) - \sin (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.4

Separe as frações.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.5

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.6

Divida $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.7

Separe as frações.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 1.2.9

Divida $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 1.2.10

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Etapa 1.2.11

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - 1$

Etapa 1.2.12

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.12.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.12.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.12.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.12.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.12.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.12.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Etapa 1.2.13

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 1.2.14

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.14.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.15

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.16

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 1.2.16.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.16.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.16.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.16.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 1.2.16.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.16.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 1.2.16.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 1.2.17

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 1.2.17.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.2.17.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.17.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.2.17.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.18

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\sin (x) + \cos (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{π}{4}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.1.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.4.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.1.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{5 π}{4}$ por $x$ .

$\sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 1.4.2.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.2.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.4.2.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.4.2.2.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Etapa 1.4.2.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Etapa 1.4.2.2.2.3.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - \sqrt{2})$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sin (0) + \cos (0)$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 + \cos (0)$

Etapa 3.1.2.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 1$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 2 π$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $2 π$ por $x$ .

$\sin (2 π) + \cos (2 π)$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sin (0) + \cos (2 π)$

Etapa 3.2.2.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 + \cos (2 π)$

Etapa 3.2.2.1.3

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$0 + \cos (0)$

Etapa 3.2.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + 1$

Etapa 3.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, 1), (2 π, 1)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$

Mínimo absoluto: $(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$

Etapa 5