Cálculo Exemplos

$\frac{4 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.9

Combine $4$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.10.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 4) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.2.7

Some $- 8 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 4) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 4) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} + 4) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.6.1

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 16 x^{2} - 8 \cdot 1) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 16 x^{2} - 8) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{2} x - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{1 + 2} - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 4 \cdot 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.10.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.10.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10.1.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + (16 x^{2} - 16) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11

Expanda $(16 x^{2} - 16) (x^{3} + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} (x^{3} + x) - 16 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} x - 16 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} x - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{1 + 2} - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 16 x^{3} - 16 x^{3} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.2

Subtraia $16 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} + 0 - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.3

Some $16 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x + 16 x^{5} - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.2

Some $- 8 x^{5}$ e $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 16 x^{3} - 8 x - 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.3

Subtraia $16 x$ de $- 8 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 16 x^{3} - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Fatore $8 x$ de $8 x^{5} - 16 x^{3} - 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Fatore $8 x$ de $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) - 16 x^{3} - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.2

Fatore $8 x$ de $- 16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2}) - 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.3

Fatore $8 x$ de $- 24 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.4

Fatore $8 x$ de $8 x (x^{4}) + 8 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 8 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.5

Fatore $8 x$ de $8 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 8 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 2 u - 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Etapa 2.5.5.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $8 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Etapa 4.1.2

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

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Etapa 4.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.7

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.9

Combine $4$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.10

Simplifique.

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Etapa 4.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 4 x^{2} = - 4$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $- 4 x^{2} = - 4$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $- 4 x^{2} = - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 5.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 5.3.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, - 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Etapa 9.2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{8 (1^{2} - 3)}{8}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{8 (1 - 3)}{8}$

Etapa 9.3.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{8 \cdot - 2}{8}$

Etapa 9.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$\frac{- 16}{8}$

Etapa 9.4.2

Divida $- 16$ por $8$ .

$- 2$

Etapa 10

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (1) = \frac{4}{1^{2} + 1}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{4}{1 + 1}$

Etapa 11.2.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = \frac{4}{2}$

Etapa 11.2.3

Divida $4$ por $2$ .

$f (1) = 2$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Etapa 13.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Etapa 13.2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{- 8 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- 8 (1 - 3)}{8}$

Etapa 13.3.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{- 8 \cdot - 2}{8}$

Etapa 13.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.4.1

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$\frac{16}{8}$

Etapa 13.4.2

Divida $16$ por $8$ .

$2$

Etapa 14

$x = - 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Etapa 15.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{1 + 1}$

Etapa 15.2.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 4}{2}$

Etapa 15.2.3

Divida $- 4$ por $2$ .

$f (- 1) = - 2$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ .

$(1, 2)$ é um máximo local

$(- 1, - 2)$ é um mínimo local

Etapa 17