Cálculo Exemplos

$p = \frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ , $0 \leq x \leq 36$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{12}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{12} x^{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{12} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $\frac{2}{12}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.5.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{12} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{6} + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{6} - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{6} - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{x}{6} - 6 + \frac{d}{d x} [108]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $108$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $108$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some $\frac{x}{6} - 6$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{6} - 6$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x}{6} - 6$ .

$\frac{x}{6} - 6$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x}{6} - 6 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x}{6} - 6 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$\frac{x}{6} = 6$

Etapa 1.2.3

Multiplique os dois lados da equação por $6$ .

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Etapa 1.2.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$6 \frac{x}{6} = 6 \cdot 6$

Etapa 1.2.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 6 \cdot 6$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$x = 36$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\frac{1}{12} x^{2} - 6 x + 108$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $36$ por $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $36$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.2.1

Fatore $12$ de $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Etapa 1.4.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Etapa 1.4.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $36$ .

$108 - 216 + 108$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Subtraia $216$ de $108$ .

$- 108 + 108$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $- 108$ e $108$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(36, 0)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 108$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 108$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{12}$ por $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 108$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$0 + 0 + 108$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 108$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $0$ e $108$ .

$108$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $36$ por $x$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(36)}^{2} - 6 \cdot 36 + 108$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $36$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 1296 - 6 \cdot 36 + 108$

Etapa 2.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Fatore $12$ de $1296$ .

$\frac{1}{12} \cdot (12 (108)) - 6 \cdot 36 + 108$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 108) - 6 \cdot 36 + 108$

Etapa 2.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$108 - 6 \cdot 36 + 108$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $36$ .

$108 - 216 + 108$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Subtraia $216$ de $108$ .

$- 108 + 108$

Etapa 2.2.2.2.2

Some $- 108$ e $108$ .

$0$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, 108), (36, 0)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 108)$

Mínimo absoluto: $(36, 0)$

Etapa 4