Cálculo Exemplos

$f (t) = 4 \sqrt{t} - t$ , $[0, 16]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \sqrt{t} - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.10

Combine $4$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.11

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.12

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.13.1

Fatore $2$ de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (t) = \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$

Etapa 1.2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$t^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 1.2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique cada termo em $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $t^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $t^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 = 1 t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 = t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Reescreva a equação como $t^{\frac{1}{2}} = 2$ .

$t^{\frac{1}{2}} = 2$

Etapa 1.2.5.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.1

Simplifique ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Etapa 1.2.5.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Etapa 1.2.5.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$t^{1} = 2^{2}$

Etapa 1.2.5.3.1.1.2

Simplifique.

$t = 2^{2}$

Etapa 1.2.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$t = 4$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{\sqrt{t^{1}}} - 1$

Etapa 1.3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{2}{\sqrt{t}} - 1$

Etapa 1.3.2

Defina o denominador em $\frac{2}{\sqrt{t}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{t} = 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{t}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$t^{1} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$t = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$t = 0$

Etapa 1.3.4

Defina o radicando em $\sqrt{t}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$t < 0$

Etapa 1.3.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 1.4

Avalie $4 \sqrt{t} - t$ em cada valor $t$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $t = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $4$ por $t$ .

$4 \sqrt{4} - (4)$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Remova os parênteses.

$4 \sqrt{4} - (4)$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2}} - (4)$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 \cdot 2 - (4)$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 - (4)$

Etapa 1.4.1.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$8 - 4$

Etapa 1.4.1.2.3

Subtraia $4$ de $8$ .

$4$

Etapa 1.4.2

Avalie em $t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $0$ por $t$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Remova os parênteses.

$4 \sqrt{0} - (0)$

Etapa 1.4.2.2.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

Etapa 1.4.2.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 \cdot 0 - (0)$

Etapa 1.4.2.2.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 - (0)$

Etapa 1.4.2.2.5

Subtraia $0$ de $0$ .

$0$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(4, 4), (0, 0)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $t$ .

$4 \sqrt{0} - (0)$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$4 \sqrt{0} - (0)$

Etapa 2.1.2.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

Etapa 2.1.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 \cdot 0 - (0)$

Etapa 2.1.2.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 - (0)$

Etapa 2.1.2.5

Subtraia $0$ de $0$ .

$0$

Etapa 2.2

Avalie em $t = 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $16$ por $t$ .

$4 \sqrt{16} - (16)$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Remova os parênteses.

$4 \sqrt{16} - (16)$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$4 \sqrt{4^{2}} - (16)$

Etapa 2.2.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$4 \cdot 4 - (16)$

Etapa 2.2.2.2.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 - (16)$

Etapa 2.2.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$16 - 16$

Etapa 2.2.2.3

Subtraia $16$ de $16$ .

$0$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (16, 0)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (t)$ encontrados para cada valor de $t$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (t)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (t)$ .

Máximo absoluto: $(4, 4)$

Mínimo absoluto: $(0, 0), (16, 0)$

Etapa 4