Cálculo Exemplos

$g (x) = x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 4$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Reordene os termos.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

Etapa 1.1.1.4.2

Reordene os fatores em $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$f' (x) = - x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x^{2} e^{- x}$ de $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $x^{2} e^{- x}$ de $- x^{3} e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} (- x) + 3 x^{2} e^{- x} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $x^{2} e^{- x}$ de $3 x^{2} e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} (- x) + x^{2} e^{- x} (3) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $x^{2} e^{- x}$ de $x^{2} e^{- x} (- x) + x^{2} e^{- x} (3)$ .

$x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 1.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 1.2.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.2.5.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 1.2.6

Defina $- x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $- x + 3$ como igual a $0$ .

$- x + 3 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Resolva $- x + 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.6.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 1.2.6.2.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.6.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.2.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.6.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} e^{- x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{3} e^{- (0)}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{- (0)}$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 e^{0}$

Etapa 1.4.1.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

${(3)}^{3} e^{- (3)}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 e^{- (3)}$

Etapa 1.4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$27 e^{- 3}$

Etapa 1.4.2.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 \frac{1}{e^{3}}$

Etapa 1.4.2.2.4

Combine $27$ e $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{27}{e^{3}}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (3, \frac{27}{e^{3}})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

${(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 e^{- (- 1)}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 1 e^{1}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique.

$- 1 e$

Etapa 2.1.2.4

Reescreva $- 1 e$ como $- e$ .

$- e$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 4$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

${(4)}^{3} e^{- (4)}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 e^{- (4)}$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$64 e^{- 4}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$64 \frac{1}{e^{4}}$

Etapa 2.2.2.4

Combine $64$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{64}{e^{4}}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, - e), (4, \frac{64}{e^{4}})$

Etapa 3

Compare os valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $g (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(3, \frac{27}{e^{3}})$

Mínimo absoluto: $(- 1, - e)$

Etapa 4