Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 4$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.9

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Etapa 1.9.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Etapa 1.10.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Etapa 1.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Etapa 1.10.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}})$

Etapa 2.2

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x - 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.8.1

Some $1$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \cdot 1) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.8.2

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + x - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.8.3

Some $x$ e $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 2 - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.8.4

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.8.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.5.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Mova $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.6.3

Some $1$ e $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 2) (x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.9

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$

Etapa 2.9.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 4) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.2

Expanda $(- 2 x - 4) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 2) - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.3.2

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 8) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.3.3

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8) x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 8 x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1.5.1

Mova $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 8 x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 8 x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{0 + 8 x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.2.3

Some $0$ e $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{8 x}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.1

Fatore $4$ de $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 (x^{4})}$

Etapa 2.10.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$g'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Etapa 2.10.3.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Etapa 2.10.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.10.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.10.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Etapa 4.1.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Etapa 4.1.9.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Etapa 4.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Etapa 4.1.10.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Etapa 4.1.10.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Etapa 4.1.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Etapa 4.1.10.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.3.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$4 x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.2.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Etapa 6.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 2, 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $2$ e ${(- 2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Fatore $- 2$ de $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Fatore $- 2$ de ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 9.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 9.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{- 1}{4}$

Etapa 9.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 10

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$g (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 4}{4 (- 2)}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$g (- 2) = \frac{4 + 4}{4 (- 2)}$

Etapa 11.2.1.2

Some $4$ e $4$ .

$g (- 2) = \frac{8}{4 (- 2)}$

Etapa 11.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$g (- 2) = \frac{8}{- 8}$

Etapa 11.2.2.2

Divida $8$ por $- 8$ .

$g (- 2) = - 1$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2}{{(2)}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $2$ e ${(2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Etapa 13.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1

Fatore $2$ de ${(2)}^{3}$ .

$\frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Etapa 13.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Etapa 13.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2^{2}}$

Etapa 13.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 14

$x = 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$g (2) = \frac{{(2)}^{2} + 4}{4 (2)}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$g (2) = \frac{4 + 4}{4 (2)}$

Etapa 15.2.1.2

Some $4$ e $4$ .

$g (2) = \frac{8}{4 (2)}$

Etapa 15.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$g (2) = \frac{8}{8}$

Etapa 15.2.2.2

Divida $8$ por $8$ .

$g (2) = 1$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$ .

$(- 2, - 1)$ é um máximo local

$(2, 1)$ é um mínimo local

Etapa 17