Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ on $- 1$ , $2$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

Etapa 1.1.1.2.6

Combine $\frac{- 6}{2}$ e $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

Etapa 1.1.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.7.1

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

Etapa 1.1.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

Etapa 1.1.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

Etapa 1.1.1.2.7.2.4

Divida $- 3 x$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 3 x$ .

$3 x^{2} - 3 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 3 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 3 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $3 x$ de $- 3 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$3 x (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Etapa 1.4.1.2.1.3.2

Multiplique $0$ por $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - \frac{3}{2} \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - \frac{3}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 3}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (1, - \frac{1}{2})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

${(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{3} \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 3}{2}$

Etapa 2.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 - 3}{2}$

Etapa 2.1.2.5.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$\frac{- 5}{2}$

Etapa 2.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{2}$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore $2$ de ${(2)}^{2}$ .

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Etapa 2.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Etapa 2.2.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$8 - 3 \cdot 2$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$8 - 6$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $6$ de $8$ .

$2$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, - \frac{5}{2}), (2, 2)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(2, 2)$

Mínimo absoluto: $(- 1, - \frac{5}{2})$

Etapa 4