Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ on $- 4$ , $0$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.9

Combine $4$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.10

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.10.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 4 x^{2} = - 4$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $- 4 x^{2} = - 4$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $- 4 x^{2} = - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 1.2.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.3.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4}{1^{2} + 1}$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.1.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4}{1 + 1}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4}{2}$

Etapa 1.4.1.2.3

Divida $4$ por $2$ .

$2$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.2.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- 4}{1 + 1}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Etapa 1.4.2.2.3

Divida $- 4$ por $2$ .

$- 2$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(- 1, - 2)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = - 4$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$\frac{4 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{- 16}{{(- 4)}^{2} + 1}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{- 16}{16 + 1}$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $16$ e $1$ .

$\frac{- 16}{17}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{17}$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{4 (0)}{{(0)}^{2} + 1}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 1}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Etapa 3.2.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 3.2.2.3

Divida $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(- 4, - \frac{16}{17}), (0, 0)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 0)$

Mínimo absoluto: $(- 1, - 2)$

Etapa 5