Cálculo Exemplos

$f (x) = - 2 \sin^{2} (x)$ , $[\frac{π}{4}, 2 π]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$- 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.1.1.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.1.1.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1.1.1.5

Reordene os fatores de $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$f' (x) = - 4 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 1.2.3.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.3.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.2.3.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.3.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.3.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.3.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 1.2.4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 1.2.4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.2.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.6

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $- 2 \sin^{2} (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$- 2 \sin^{2} (0)$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 1.4.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 \cdot 0$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 2 \cdot 1^{2}$

Etapa 1.4.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 2 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, - 2)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(π, 0), (2 π, 0), (\frac{π}{2}, - 2), (\frac{3 π}{2}, - 2)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = \frac{π}{4}$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 3.1.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.1.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 3.1.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 3.1.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 3.1.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 3.1.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Etapa 3.1.2.3.5

Avalie o expoente.

$- 2 \frac{2}{2^{2}}$

Etapa 3.1.2.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 2 (\frac{2}{4})$

Etapa 3.1.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.2.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{2}{4}$

Etapa 3.1.2.5.2

Fatore $2$ de $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.5.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.5.4

Reescreva a expressão.

$- 1 (\frac{2}{2})$

Etapa 3.1.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.2.6.1

Cancele o fator comum.

$- 1 (\frac{2}{2})$

Etapa 3.1.2.6.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 3.1.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 2 π$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $2 π$ por $x$ .

$- 2 \sin^{2} (2 π)$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 2 \sin^{2} (0)$

Etapa 3.2.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 \cdot 0$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{4}, - 1), (2 π, 0)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(π, 0), (2 π, 0)$

Mínimo absoluto: $(\frac{π}{2}, - 2), (\frac{3 π}{2}, - 2)$

Etapa 5