Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + \frac{320}{x}$ ; $(0, \infty)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \frac{320}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $320$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{320}{x}$ em relação a $x$ é $320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + 320 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x + 320 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $320$ .

$2 x - 320 x^{- 2}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 320 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Combine $- 320$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 320}{x^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 x - \frac{320}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{320}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{320}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2}, 1$

Etapa 1.2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 1.2.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{3} - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{320}{x^{2}}$ para o numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{3} + \frac{- 320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{3} - 320 = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 320 = 0$

Etapa 1.2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Some $320$ aos dois lados da equação.

$2 x^{3} = 320$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $320$ dos dois lados da equação.

$2 x^{3} - 320 = 0$

Etapa 1.2.4.3

Fatore $2$ de $2 x^{3} - 320$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 320 = 0$

Etapa 1.2.4.3.2

Fatore $2$ de $- 320$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 160 = 0$

Etapa 1.2.4.3.3

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 160$ .

$2 (x^{3} - 160) = 0$

Etapa 1.2.4.4

Divida cada termo em $2 (x^{3} - 160) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1

Divida cada termo em $2 (x^{3} - 160) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 160)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{3} - 160)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.4.2.1.2

Divida $x^{3} - 160$ por $1$ .

$x^{3} - 160 = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x^{3} - 160 = 0$

Etapa 1.2.4.5

Some $160$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 160$

Etapa 1.2.4.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{160}$

Etapa 1.2.4.7

Simplifique $\sqrt[3]{160}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.7.1

Reescreva $160$ como $2^{3} \cdot 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.7.1.1

Fatore $8$ de $160$ .

$x = \sqrt[3]{8 (20)}$

Etapa 1.2.4.7.1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 20}$

Etapa 1.2.4.7.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = 2 \sqrt[3]{20}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{320}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $x^{2} + \frac{320}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 2 \sqrt[3]{20}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $2 \sqrt[3]{20}$ por $x$ .

${(2 \sqrt[3]{20})}^{2} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt[3]{20}$ .

$2^{2} {\sqrt[3]{20}}^{2} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {\sqrt[3]{20}}^{2} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Reescreva ${\sqrt[3]{20}}^{2}$ como $\sqrt[3]{20^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{20^{2}} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$4 \sqrt[3]{400} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Reescreva $400$ como $2^{3} \cdot 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.5.1

Fatore $8$ de $400$ .

$4 \sqrt[3]{8 (50)} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.5.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$4 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 50} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 (2 \sqrt[3]{50}) + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8

Cancele o fator comum de $320$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.8.1

Fatore $2$ de $320$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{2 \cdot 160}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.8.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{20}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{2 \cdot 160}{2 (\sqrt[3]{20})}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{2 \cdot 160}{2 \sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160}{\sqrt[3]{20}}$

Etapa 1.4.1.2.1.9

Multiplique $\frac{160}{\sqrt[3]{20}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{2}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160}{\sqrt[3]{20}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.10.1

Multiplique $\frac{160}{\sqrt[3]{20}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{2}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{\sqrt[3]{20} {\sqrt[3]{20}}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.2

Eleve $\sqrt[3]{20}$ à potência de $1$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{1} {\sqrt[3]{20}}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{1 + 2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.4

Some $1$ e $2$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{3}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.5

Reescreva ${\sqrt[3]{20}}^{3}$ como $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.10.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{20}$ como $20^{\frac{1}{3}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{(20^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.10.5.4.1

Cancele o fator comum.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.5.4.2

Reescreva a expressão.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{1}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.5.5

Avalie o expoente.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20}$

Etapa 1.4.1.2.1.11

Cancele o fator comum de $160$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.11.1

Fatore $20$ de $160 {\sqrt[3]{20}}^{2}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{20 (8 {\sqrt[3]{20}}^{2})}{20}$

Etapa 1.4.1.2.1.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.11.2.1

Fatore $20$ de $20$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{20 (8 {\sqrt[3]{20}}^{2})}{20 (1)}$

Etapa 1.4.1.2.1.11.2.2

Cancele o fator comum.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{20 (8 {\sqrt[3]{20}}^{2})}{20 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.2.1.11.2.3

Reescreva a expressão.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{8 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{1}$

Etapa 1.4.1.2.1.11.2.4

Divida $8 {\sqrt[3]{20}}^{2}$ por $1$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 {\sqrt[3]{20}}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.12

Reescreva ${\sqrt[3]{20}}^{2}$ como $\sqrt[3]{20^{2}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{20^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.13

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{400}$

Etapa 1.4.1.2.1.14

Reescreva $400$ como $2^{3} \cdot 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.14.1

Fatore $8$ de $400$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{8 (50)}$

Etapa 1.4.1.2.1.14.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 50}$

Etapa 1.4.1.2.1.15

Elimine os termos abaixo do radical.

$8 \sqrt[3]{50} + 8 (2 \sqrt[3]{50})$

Etapa 1.4.1.2.1.16

Multiplique $2$ por $8$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 16 \sqrt[3]{50}$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $8 \sqrt[3]{50}$ e $16 \sqrt[3]{50}$ .

$24 \sqrt[3]{50}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{320}{0}$

Etapa 1.4.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(2 \sqrt[3]{20}, 24 \sqrt[3]{50})$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{20}) \cup (2 \sqrt[3]{20}, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 2 \sqrt[3]{20})$ na primeira derivada $2 x - \frac{320}{x^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{320}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{320}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{320}{4}$

Etapa 2.2.2.1.3

Divida $320$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 80$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $80$ .

$f' (- 2) = - 4 - 80$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $80$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = - 84$

Etapa 2.2.2.3

A resposta final é $- 84$ .

$- 84$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $8$ , do intervalo $(2 \sqrt[3]{20}, \infty)$ na primeira derivada $2 x - \frac{320}{x^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = 2 (8) - \frac{320}{{(8)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$f' (8) = 16 - \frac{320}{{(8)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f' (8) = 16 - \frac{320}{64}$

Etapa 2.3.2.1.3

Divida $320$ por $64$ .

$f' (8) = 16 - 1 \cdot 5$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f' (8) = 16 - 5$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $5$ de $16$ .

$f' (8) = 11$

Etapa 2.3.2.3

A resposta final é $11$ .

$11$

Etapa 2.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 2 \sqrt[3]{20}$ , então $x = 2 \sqrt[3]{20}$ é um mínimo local.

$x = 2 \sqrt[3]{20}$ é um mínimo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(2 \sqrt[3]{20}, 24 \sqrt[3]{50})$

Etapa 4