Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ ; $(0, \infty)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $3 x^{2} + 2 x - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 2 x - 5$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Reescreva $2$ como $- 3$ mais $5$

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.5

Defina $3 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $3 x + 5$ como igual a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $3 x + 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 5$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 5$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Etapa 1.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{3}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 8$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 8$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 1 - 5 \cdot 1 + 8$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$1 + 1 - 5 + 8$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $1$ e $1$ .

$2 - 5 + 8$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $5$ de $2$ .

$- 3 + 8$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Some $- 3$ e $8$ .

$5$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - \frac{5}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- \frac{5}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.6

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.7

Multiplique $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.8

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.10

Multiplique $- 5 (- \frac{5}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.10.2

Combine $5$ e $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} + 8$

Etapa 1.4.2.2.1.10.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} + 8$

Etapa 1.4.2.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Multiplique $\frac{25}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} + 8$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Multiplique $\frac{25}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} + 8$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Multiplique $\frac{25}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} + 8$

Etapa 1.4.2.2.2.4

Multiplique $\frac{25}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 8$

Etapa 1.4.2.2.2.5

Escreva $8$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8}{1}$

Etapa 1.4.2.2.2.6

Multiplique $\frac{8}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.2.7

Multiplique $\frac{8}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.2.8

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.2.9

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 + 8 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.4.1

Multiplique $25$ por $3$ .

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 + 8 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.4.2

Multiplique $25$ por $9$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 + 8 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.4.3

Multiplique $8$ por $27$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 + 216}{27}$

Etapa 1.4.2.2.5

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.5.1

Some $- 125$ e $75$ .

$\frac{- 50 + 225 + 216}{27}$

Etapa 1.4.2.2.5.2

Some $- 50$ e $225$ .

$\frac{175 + 216}{27}$

Etapa 1.4.2.2.5.3

Some $175$ e $216$ .

$\frac{391}{27}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(1, 5), (- \frac{5}{3}, \frac{391}{27})$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(1, 5)$

Etapa 3

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (- \frac{5}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 3.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - \frac{5}{3})$ na primeira derivada $3 x^{2} + 2 x - 5$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 5$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 + 2 (- 4) - 5$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (- 4) = 48 + 2 (- 4) - 5$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 - 8 - 5$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $8$ de $48$ .

$f' (- 4) = 40 - 5$

Etapa 3.2.2.2.2

Subtraia $5$ de $40$ .

$f' (- 4) = 35$

Etapa 3.2.2.3

A resposta final é $35$ .

$35$

Etapa 3.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \frac{5}{3}, 1)$ na primeira derivada $3 x^{2} + 2 x - 5$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 5$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 + 2 (0) - 5$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 (0) - 5$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 5$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 5$

Etapa 3.3.2.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$f' (0) = - 5$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 3.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $3 x^{2} + 2 x - 5$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 5$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 + 2 (4) - 5$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (4) = 48 + 2 (4) - 5$

Etapa 3.4.2.1.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (4) = 48 + 8 - 5$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Some $48$ e $8$ .

$f' (4) = 56 - 5$

Etapa 3.4.2.2.2

Subtraia $5$ de $56$ .

$f' (4) = 51$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $51$ .

$51$

Etapa 3.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - \frac{5}{3}$ , então $x = - \frac{5}{3}$ é um máximo local.

$x = - \frac{5}{3}$ é um máximo local

Etapa 3.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um mínimo local.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 3.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ .

$x = - \frac{5}{3}$ é um máximo local

$x = 1$ é um mínimo local

$x = - \frac{5}{3}$ é um máximo local

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(1, 5)$

Etapa 5