Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.4.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4.2

Fatore $x$ de $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1

Fatore $x$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Etapa 2.4.4.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Etapa 2.6.2.1.2

Multiplique $- 2 (- \ln (x))$ .

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Etapa 2.6.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Etapa 2.6.2.1.2.2

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 2.6.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 2.6.4

Fatore $- 1$ de $\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Etapa 2.6.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Etapa 2.6.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 - \ln (x) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \ln (x) = - 1$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $- \ln (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Etapa 5.3.3

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $\ln (x) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Etapa 5.3.5

Reescreva a equação como $x = e^{1}$ .

$x = e$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 6.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = e$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = e$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Use as regras logarítmicas para mover $2$ para fora do expoente.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

Etapa 9.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

Etapa 9.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

Etapa 9.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

Etapa 9.5

Subtraia $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{e^{3}}$

Etapa 10

$x = e$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = e$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = e$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $e$ na expressão.

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e) = \frac{1}{e}$

Etapa 11.2.2

A resposta final é $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$(e, \frac{1}{e})$ é um máximo local

Etapa 13