Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (x) - x$ , $[\frac{π}{2}, 2 π]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (x) - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \sin (x) - 1$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 1 - \sin (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 1 - \sin (x)$ .

$- 1 - \sin (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 1 - \sin (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 1 - \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- \sin (x) = 1$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- \sin (x) = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Etapa 1.2.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 1.2.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.6

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 1.2.7

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 1.2.7.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 1.2.7.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.8

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.9

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 1.2.9.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 1.2.9.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.9.3

Combine frações.

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Etapa 1.2.9.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.9.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 1.2.9.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.9.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.10

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.11

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\cos (x) - x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

Etapa 1.4.1.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0 - \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $\frac{3 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{7 π}{2}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{7 π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{7 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Etapa 1.4.2.2.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0 - \frac{7 π}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $\frac{7 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{7 π}{2}$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = \frac{11 π}{2}$ .

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Etapa 1.4.3.1

Substitua $\frac{11 π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{11 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.3.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Etapa 1.4.3.2.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0 - \frac{11 π}{2}$

Etapa 1.4.3.2.2

Subtraia $\frac{11 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{11 π}{2}$

Etapa 1.4.4

Avalie em $x = \frac{15 π}{2}$ .

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Etapa 1.4.4.1

Substitua $\frac{15 π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{15 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.4.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Etapa 1.4.4.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Etapa 1.4.4.2.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0 - \frac{15 π}{2}$

Etapa 1.4.4.2.2

Subtraia $\frac{15 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{15 π}{2}$

Etapa 1.4.5

Avalie em $x = \frac{19 π}{2}$ .

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Etapa 1.4.5.1

Substitua $\frac{19 π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{19 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Etapa 1.4.5.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.5.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Etapa 1.4.5.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Etapa 1.4.5.2.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0 - \frac{19 π}{2}$

Etapa 1.4.5.2.2

Subtraia $\frac{19 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{19 π}{2}$

Etapa 1.4.6

Liste todos os pontos.

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2}), (\frac{7 π}{2}, - \frac{7 π}{2}), (\frac{11 π}{2}, - \frac{11 π}{2}), (\frac{15 π}{2}, - \frac{15 π}{2}), (\frac{19 π}{2}, - \frac{19 π}{2})$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{π}{2})$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0 - \frac{π}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $\frac{π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 2 π$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $2 π$ por $x$ .

$\cos (2 π) - (2 π)$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (0) - (2 π)$

Etapa 3.2.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1 - (2 π)$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 π$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2}), (2 π, 1 - 2 π)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2})$

Mínimo absoluto: $(2 π, 1 - 2 π)$

Etapa 5