Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12$ , $(- 2, 4)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $3 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $3 x$ de $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} - 3 x^{2} + 12$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 12$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} + 12$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 + 12$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$0 + 0 + 12$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 12$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $0$ e $12$ .

$12$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 12$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} + 12$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 12$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$8 - 12 + 12$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.4.2.2.2.1

Subtraia $12$ de $8$ .

$- 4 + 12$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $- 4$ e $12$ .

$8$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 12), (2, 8)$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $3 x^{2} - 6 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (- 2) = 12 - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 12 + 12$

Etapa 2.2.2.2

Some $12$ e $12$ .

$f' (- 2) = 24$

Etapa 2.2.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, 2)$ na primeira derivada $3 x^{2} - 6 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (1) = 3 - 6$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $6$ de $3$ .

$f' (1) = - 3$

Etapa 2.3.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 2.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(2, \infty)$ na primeira derivada $3 x^{2} - 6 x$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4$

Etapa 2.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4$

Etapa 2.4.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (4) = 48 - 6 \cdot 4$

Etapa 2.4.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$f' (4) = 48 - 24$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $24$ de $48$ .

$f' (4) = 24$

Etapa 2.4.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 2.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 2.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 2$ , então $x = 2$ é um mínimo local.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 2.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12$ .

$x = 0$ é um máximo local

$x = 2$ é um mínimo local

$x = 0$ é um máximo local

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 12)$

Mínimo absoluto: $(2, 8)$

Etapa 4