Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ e $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 10)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 6 x + 12$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 10$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 12 x - 10 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 = 0$

Etapa 5.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3

Substitua os valores $a = - 3$ , $b = 12$ e $c = - 10$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 3 \cdot - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.2.2

Multiplique $12$ por $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.3

Subtraia $120$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.4

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$

Etapa 5.4.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 3 \cdot - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.2.2

Multiplique $12$ por $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.3

Subtraia $120$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.4

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$

Etapa 5.5.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

Etapa 5.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 3 \cdot - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.2.2

Multiplique $12$ por $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.3

Subtraia $120$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.4

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.4.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$

Etapa 5.6.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

Etapa 5.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Etapa 5.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}, \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}, \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 12$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 12$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 2 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 12$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (6 + \sqrt{6}) + 12$

Etapa 9.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cdot 6 - 2 \sqrt{6} + 12$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$- 12 - 2 \sqrt{6} + 12$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $- 12$ e $12$ .

$0 - 2 \sqrt{6}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $2 \sqrt{6}$ de $0$ .

$- 2 \sqrt{6}$

Etapa 10

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{3} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 + \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 + \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.3

Use o teorema binomial.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (36 \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.3

Multiplique $3$ por $36$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.4

Multiplique $3$ por $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 {\sqrt{6}}^{2} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.5

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.6

Multiplique $18$ por $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.7

Reescreva ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{6^{3}}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.8

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{216}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.9

Reescreva $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.9.1

Fatore $36$ de $216$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{36 (6)}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.9.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.4.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.5

Some $216$ e $108$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 + 108 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.6

Some $108 \sqrt{6}$ e $6 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 + 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.7

Cancele o fator comum de $324 + 114 \sqrt{6}$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.1

Fatore $3$ de $324$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) + 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.7.2

Fatore $3$ de $114 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) + 3 (38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.7.3

Fatore $3$ de $3 (108) + 3 (38 \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 + 38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.7.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.4.1

Fatore $3$ de $27$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 + 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.7.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 + 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.7.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.8

Aplique a regra do produto a $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.10

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.10.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 3 (2) (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.10.2

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.10.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.10.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.11

Combine $2$ e $\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 {(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.12

Reescreva ${(6 + \sqrt{6})}^{2}$ como $(6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 ((6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.13

Expanda $(6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 (6 + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (6 + \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} (6 + \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 6 + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.14

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.14.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 6 + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.14.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $\sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.14.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6 \cdot 6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.14.1.4

Multiplique $6$ por $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{36})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.14.1.5

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6^{2}})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.14.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 6)}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.14.2

Some $36$ e $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.14.3

Some $6 \sqrt{6}$ e $6 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 + 12 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.15

Cancele o fator comum de $42 + 12 \sqrt{6}$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.15.1

Fatore $3$ de $2 (42 + 12 \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 + 4 \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.15.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 + 4 \sqrt{6}))}{3 (1)} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.15.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 + 4 \sqrt{6}))}{3 \cdot 1} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.15.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (14 + 4 \sqrt{6})}{1} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.15.2.4

Divida $2 (14 + 4 \sqrt{6})$ por $1$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (14 + 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.16

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 2 \cdot 14 + 2 (4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.17

Multiplique $2$ por $14$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 2 (4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.18

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 8 \sqrt{6} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.19

Combine $- 10$ e $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 8 \sqrt{6} + \frac{- 10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.1.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.2

Para escrever $28$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 \cdot \frac{9}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Combine $28$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{28 \cdot 9}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 + 38 \sqrt{6}) + 28 \cdot 9}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.3.2.2

Multiplique $28$ por $9$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 + 38 \sqrt{6}) + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 108 - (38 \sqrt{6}) + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $108$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 - (38 \sqrt{6}) + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.4.3

Multiplique $38$ por $- 1$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 - 38 \sqrt{6} + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.4.4

Some $- 108$ e $252$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.5

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Escreva $8 \sqrt{6}$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6}}{1} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.5.2

Multiplique $\frac{8 \sqrt{6}}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6}}{1} \cdot \frac{9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.5.3

Multiplique $\frac{8 \sqrt{6}}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 11.2.5.4

Multiplique $\frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - (\frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 4$

Etapa 11.2.5.5

Multiplique $\frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4$

Etapa 11.2.5.6

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1}$

Etapa 11.2.5.7

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 11.2.5.8

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.5.9

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 8 \sqrt{6} \cdot 9 - 10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.7.1

Multiplique $9$ por $8$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + (- 10 \cdot 6 - 10 \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7.3

Multiplique $- 10$ por $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + (- 60 - 10 \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 60 \cdot 3 - 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7.5

Multiplique $- 60$ por $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 180 - 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7.6

Multiplique $3$ por $- 10$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 180 - 30 \sqrt{6} + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7.7

Multiplique $4$ por $9$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 180 - 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

Etapa 11.2.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.8.1

Subtraia $180$ de $144$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 36 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

Etapa 11.2.8.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.8.2.1

Some $- 36$ e $36$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{0 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 11.2.8.2.2

Subtraia $38 \sqrt{6}$ de $0$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 11.2.8.3

Some $- 38 \sqrt{6}$ e $72 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{34 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 11.2.8.4

Subtraia $30 \sqrt{6}$ de $34 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 11.2.9

A resposta final é $\frac{4 \sqrt{6}}{9}$ .

$y = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 12$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 12$

Etapa 13.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 2 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 12$

Etapa 13.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (6 - \sqrt{6}) + 12$

Etapa 13.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cdot 6 - 2 (- \sqrt{6}) + 12$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$- 12 - 2 (- \sqrt{6}) + 12$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 12 + 2 \sqrt{6} + 12$

Etapa 13.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Some $- 12$ e $12$ .

$0 + 2 \sqrt{6}$

Etapa 13.2.2

Some $0$ e $2 \sqrt{6}$ .

$2 \sqrt{6}$

Etapa 14

$x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{3} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 - \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 - \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.3

Use o teorema binomial.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (36 (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.3

Multiplique $3$ por $36$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 (- \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.4

Multiplique $- 1$ por $108$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.5

Multiplique $3$ por $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {(- \sqrt{6})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.6

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.8

Multiplique ${\sqrt{6}}^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {\sqrt{6}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.9

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.9.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.9.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.9.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.10

Multiplique $18$ por $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.11

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.12

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.13

Reescreva ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{6^{3}}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.14

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{216}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.15

Reescreva $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.15.1

Fatore $36$ de $216$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{36 (6)}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.15.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.16

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - (6 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.4.17

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.5

Some $216$ e $108$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 - 108 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.6

Subtraia $6 \sqrt{6}$ de $- 108 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 - 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.7

Cancele o fator comum de $324 - 114 \sqrt{6}$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.1

Fatore $3$ de $324$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) - 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.7.2

Fatore $3$ de $- 114 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) + 3 (- 38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.7.3

Fatore $3$ de $3 (108) + 3 (- 38 \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 - 38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.7.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.4.1

Fatore $3$ de $27$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 - 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.7.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 - 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.7.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.8

Aplique a regra do produto a $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.10

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.10.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 3 (2) (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.10.2

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.10.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.10.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.11

Combine $2$ e $\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 {(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.12

Reescreva ${(6 - \sqrt{6})}^{2}$ como $(6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 ((6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.13

Expanda $(6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 (6 - \sqrt{6}) - \sqrt{6} (6 - \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} (6 - \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.14.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.4

Multiplique $- \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.14.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 1 \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.4.2

Multiplique $\sqrt{6}$ por $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.4.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.4.4

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{1 + 1})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{2})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.5

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.14.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.14.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6)}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6)}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.2

Some $36$ e $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.14.3

Subtraia $6 \sqrt{6}$ de $- 6 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 - 12 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.15

Cancele o fator comum de $42 - 12 \sqrt{6}$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.15.1

Fatore $3$ de $2 (42 - 12 \sqrt{6})$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 - 4 \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.15.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 - 4 \sqrt{6}))}{3 (1)} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.15.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 - 4 \sqrt{6}))}{3 \cdot 1} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.15.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (14 - 4 \sqrt{6})}{1} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.15.2.4

Divida $2 (14 - 4 \sqrt{6})$ por $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (14 - 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.16

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 2 \cdot 14 + 2 (- 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.17

Multiplique $2$ por $14$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 2 (- 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.18

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 - 8 \sqrt{6} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.19

Combine $- 10$ e $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 - 8 \sqrt{6} + \frac{- 10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.1.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.2

Para escrever $28$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 \cdot \frac{9}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Combine $28$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{28 \cdot 9}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 - 38 \sqrt{6}) + 28 \cdot 9}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.3.2.2

Multiplique $28$ por $9$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 - 38 \sqrt{6}) + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 108 - (- 38 \sqrt{6}) + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $108$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 - (- 38 \sqrt{6}) + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.4.3

Multiplique $- 38$ por $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 + 38 \sqrt{6} + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.4.4

Some $- 108$ e $252$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.5

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Escreva $- 8 \sqrt{6}$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6}}{1} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.5.2

Multiplique $\frac{- 8 \sqrt{6}}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6}}{1} \cdot \frac{9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.5.3

Multiplique $\frac{- 8 \sqrt{6}}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

Etapa 15.2.5.4

Multiplique $\frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - (\frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 4$

Etapa 15.2.5.5

Multiplique $\frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4$

Etapa 15.2.5.6

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1}$

Etapa 15.2.5.7

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 15.2.5.8

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.5.9

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} \cdot 9 - 10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.7.1

Multiplique $9$ por $- 8$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + (- 10 \cdot 6 - 10 (- \sqrt{6})) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.3

Multiplique $- 10$ por $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + (- 60 - 10 (- \sqrt{6})) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.4

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + (- 60 + 10 \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 60 \cdot 3 + 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.6

Multiplique $- 60$ por $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 180 + 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.7

Multiplique $3$ por $10$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 180 + 30 \sqrt{6} + 4 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.8

Multiplique $4$ por $9$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 180 + 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

Etapa 15.2.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.1

Subtraia $180$ de $144$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 36 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

Etapa 15.2.8.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.2.1

Some $- 36$ e $36$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{0 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 15.2.8.2.2

Some $0$ e $38 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 15.2.8.3

Subtraia $72 \sqrt{6}$ de $38 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 34 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 15.2.8.4

Some $- 34 \sqrt{6}$ e $30 \sqrt{6}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 4 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 15.2.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 15.2.9

A resposta final é $- \frac{4 \sqrt{6}}{9}$ .

$y = - \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$ .

$(\frac{6 + \sqrt{6}}{3}, \frac{4 \sqrt{6}}{9})$ é um máximo local

$(\frac{6 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{4 \sqrt{6}}{9})$ é um mínimo local

Etapa 17