Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + \frac{240}{x}$ ; $(0, \infty)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \frac{240}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $240$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{240}{x}$ em relação a $x$ é $240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x + 240 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $240$ .

$2 x - 240 x^{- 2}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 240 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Combine $- 240$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 240}{x^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2}, 1$

Etapa 1.2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 1.2.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{3} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{240}{x^{2}}$ para o numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{3} - 240 = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 240 = 0$

Etapa 1.2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Some $240$ aos dois lados da equação.

$2 x^{3} = 240$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $240$ dos dois lados da equação.

$2 x^{3} - 240 = 0$

Etapa 1.2.4.3

Fatore $2$ de $2 x^{3} - 240$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 240 = 0$

Etapa 1.2.4.3.2

Fatore $2$ de $- 240$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 120 = 0$

Etapa 1.2.4.3.3

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 \cdot - 120$ .

$2 (x^{3} - 120) = 0$

Etapa 1.2.4.4

Divida cada termo em $2 (x^{3} - 120) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1

Divida cada termo em $2 (x^{3} - 120) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.4.2.1.2

Divida $x^{3} - 120$ por $1$ .

$x^{3} - 120 = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x^{3} - 120 = 0$

Etapa 1.2.4.5

Some $120$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 120$

Etapa 1.2.4.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{120}$

Etapa 1.2.4.7

Simplifique $\sqrt[3]{120}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.7.1

Reescreva $120$ como $2^{3} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.7.1.1

Fatore $8$ de $120$ .

$x = \sqrt[3]{8 (15)}$

Etapa 1.2.4.7.1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 15}$

Etapa 1.2.4.7.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{240}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $x^{2} + \frac{240}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 2 \sqrt[3]{15}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $2 \sqrt[3]{15}$ por $x$ .

${(2 \sqrt[3]{15})}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt[3]{15}$ .

$2^{2} {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Reescreva ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ como $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{15^{2}} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Cancele o fator comum de $240$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.5.1

Fatore $2$ de $240$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Etapa 1.4.1.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.5.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{15}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 (\sqrt[3]{15})}$

Etapa 1.4.1.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Etapa 1.4.1.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}}$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Multiplique $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.7.1

Multiplique $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{\sqrt[3]{15} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7.2

Eleve $\sqrt[3]{15}$ à potência de $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1 + 2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7.4

Some $1$ e $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{3}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7.5

Reescreva ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.7.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{15}$ como $15^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{(15^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.7.5.4.1

Cancele o fator comum.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7.5.4.2

Reescreva a expressão.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{1}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7.5.5

Avalie o expoente.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15}$

Etapa 1.4.1.2.1.8

Cancele o fator comum de $120$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.8.1

Fatore $15$ de $120 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.8.2.1

Fatore $15$ de $15$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 (1)}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.2.3

Reescreva a expressão.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{8 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{1}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.2.4

Divida $8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ por $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.9

Reescreva ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ como $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{15^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.10

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{225}$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $4 \sqrt[3]{225}$ e $8 \sqrt[3]{225}$ .

$12 \sqrt[3]{225}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{240}{0}$

Etapa 1.4.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{15}) \cup (2 \sqrt[3]{15}, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 2 \sqrt[3]{15})$ na primeira derivada $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{4}$

Etapa 2.2.2.1.3

Divida $240$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 60$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $60$ .

$f' (- 2) = - 4 - 60$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $60$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = - 64$

Etapa 2.2.2.3

A resposta final é $- 64$ .

$- 64$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $7$ , do intervalo $(2 \sqrt[3]{15}, \infty)$ na primeira derivada $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = 2 (7) - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $7$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{49}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $14$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = 14 \cdot \frac{49}{49} - \frac{240}{49}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $14$ e $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49}{49} - \frac{240}{49}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49 - 240}{49}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $14$ por $49$ .

$f' (7) = \frac{686 - 240}{49}$

Etapa 2.3.2.5.2

Subtraia $240$ de $686$ .

$f' (7) = \frac{446}{49}$

Etapa 2.3.2.6

A resposta final é $\frac{446}{49}$ .

$\frac{446}{49}$

Etapa 2.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 2 \sqrt[3]{15}$ , então $x = 2 \sqrt[3]{15}$ é um mínimo local.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ é um mínimo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Etapa 4