Cálculo Exemplos

$f (x) = | x | + 2 | 1 - x |$ , $[- 2, 2]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $| x | + 2 | 1 - x |$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $| x |$ em relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 | 1 - x |]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 | 1 - x |$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{d}{d x} [| 1 - x |]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = 1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 1.1.1.3.2.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Etapa 1.1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 1.1.1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 1.1.1.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.1.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1 \cdot 1))$

Etapa 1.1.1.3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} (0 - 1))$

Etapa 1.1.1.3.8

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 (\frac{1 - x}{| 1 - x |} \cdot - 1)$

Etapa 1.1.1.3.9

Combine $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ e $- 1$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{(1 - x) \cdot - 1}{| 1 - x |}$

Etapa 1.1.1.3.10

Mova $- 1$ para a esquerda de $1 - x$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- 1 \cdot (1 - x)}{| 1 - x |}$

Etapa 1.1.1.3.11

Reescreva $- 1 (1 - x)$ como $- (1 - x)$ .

$\frac{x}{| x |} + 2 \frac{- (1 - x)}{| 1 - x |}$

Etapa 1.1.1.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{x}{| x |} + 2 (- \frac{1 - x}{| 1 - x |})$

Etapa 1.1.1.3.13

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x}{| x |} - 2 \frac{1 - x}{| 1 - x |}$

Etapa 1.1.1.3.14

Combine $- 2$ e $\frac{1 - x}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Etapa 1.1.1.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $\frac{x}{| x |}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$

Etapa 1.2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$| 1 - x |, | x |$

Etapa 1.2.3.2

Como $| 1 - x |, | x |$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $| 1 - x |, | x |$ 1) e, depois, o da parte variável $| 1 - x |, | x |$ .

Etapa 1.2.3.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.2.3.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.2.3.5

O MMC de $1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.2.3.6

O fator de ${| 1 - x |}^{1}$ é o próprio $| 1 - x |$ .

${| 1 - x |}^{1} = | 1 - x |$

$| 1 - x |$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.2.3.7

O fator de ${| x |}^{1}$ é o próprio $| x |$ .

${| x |}^{1} = | x |$

$| x |$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.2.3.8

O MMC de ${| 1 - x |}^{1}, {| x |}^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$| 1 - x | | x |$

Etapa 1.2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ por $| 1 - x | | x |$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} = - \frac{x}{| x |}$ por $| 1 - x | | x |$ .

$- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $| 1 - x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ para o numerador.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Fatore $| 1 - x |$ de $| 1 - x | | x |$ .

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 (1 - x)}{| 1 - x |} (| 1 - x | | x |) = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- 2 (1 - x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Etapa 1.2.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- 2 \cdot 1 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Etapa 1.2.4.2.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(- 2 - 2 (- x)) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Etapa 1.2.4.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$(- 2 + 2 x) | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Etapa 1.2.4.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 | x | + 2 x | x | = - \frac{x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{| x |}$ para o numerador.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| 1 - x | | x |)$

Etapa 1.2.4.3.1.2

Fatore $| x |$ de $| 1 - x | | x |$ .

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

Etapa 1.2.4.3.1.3

Cancele o fator comum.

$- 2 | x | + 2 x | x | = \frac{- x}{| x |} (| x | | 1 - x |)$

Etapa 1.2.4.3.1.4

Reescreva a expressão.

$- 2 | x | + 2 x | x | = - x | 1 - x |$

Etapa 1.2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Reescreva a equação como $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ .

$- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$

Etapa 1.2.5.2

Divida cada termo em $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ por $- x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Divida cada termo em $- x | 1 - x | = - 2 | x | + 2 x | x |$ por $- x$ .

$\frac{- x | 1 - x |}{- x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Etapa 1.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x | 1 - x |}{x} = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.2

Divida $| 1 - x |$ por $1$ .

$| 1 - x | = \frac{- 2 | x |}{- x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 x | x |}{- x}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} + \frac{2 | x |}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.3.1.2.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 | x |}{- 1}$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 1 \cdot (2 | x |)$

Etapa 1.2.5.2.3.1.3

Reescreva $- 1 \cdot (2 | x |)$ como $- (2 | x |)$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - (2 | x |)$

Etapa 1.2.5.2.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$| 1 - x | = \frac{2 | x |}{x} - 2 | x |$

Etapa 1.2.6

Resolva $| x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Reescreva a equação como $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ .

$\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$

Etapa 1.2.6.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1, 1$

Etapa 1.2.6.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 1.2.6.3

Multiplique cada termo em $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ por $x$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{2 | x |}{x} - 2 | x | = | 1 - x |$ por $x$ .

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Etapa 1.2.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 | x |}{x} x - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Etapa 1.2.6.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 | x | - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Etapa 1.2.6.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.4.1

Fatore $2 | x |$ de $2 | x | - 2 | x | x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.4.1.1

Fatore $2 | x |$ de $2 | x |$ .

$2 | x | \cdot 1 - 2 | x | x = | 1 - x | x$

Etapa 1.2.6.4.1.2

Fatore $2 | x |$ de $- 2 | x | x$ .

$2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x) = | 1 - x | x$

Etapa 1.2.6.4.1.3

Fatore $2 | x |$ de $2 | x | \cdot 1 + 2 | x | (- 1 x)$ .

$2 | x | (1 - 1 x) = | 1 - x | x$

Etapa 1.2.6.4.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$

Etapa 1.2.6.4.3

Divida cada termo em $2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ por $2 (1 - x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.4.3.1

Divida cada termo em $2 | x | (1 - x) = | 1 - x | x$ por $2 (1 - x)$ .

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Etapa 1.2.6.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 | x | (1 - x)}{2 (1 - x)} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Etapa 1.2.6.4.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Etapa 1.2.6.4.3.2.2

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.4.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| x | (1 - x)}{1 - x} = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Etapa 1.2.6.4.3.2.2.2

Divida $| x |$ por $1$ .

$| x | = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

Etapa 1.2.7

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

Etapa 1.2.8

O resultado consiste nas partes positiva e negativa de $\pm$ .

$x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$

$x = - (\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)})$

Etapa 1.2.9

Resolva $x = \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Resolva $| 1 - x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.1

Reescreva a equação como $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$ .

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} = x$

Etapa 1.2.9.1.2

Multiplique os dois lados por $2 (1 - x)$ .

$\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x)) = x (2 (1 - x))$

Etapa 1.2.9.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.1.1

Simplifique $\frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (2 (1 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Etapa 1.2.9.1.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{| 1 - x | x}{2 (1 - x)} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Etapa 1.2.9.1.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Etapa 1.2.9.1.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 1 - x | x}{1 - x} (1 - x) = x (2 (1 - x))$

Etapa 1.2.9.1.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$| 1 - x | x = x (2 (1 - x))$

Etapa 1.2.9.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.2.1

Simplifique $x (2 (1 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.1

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$| 1 - x | x = 2 x (1 - x)$

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$| 1 - x | x = 2 x \cdot 1 + 2 x (- x)$

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.1.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 x (- x)$

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.2.1.1

Mova $x$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$| 1 - x | x = 2 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$| 1 - x | x = 2 x - 2 x^{2}$

Etapa 1.2.9.1.3.2.1.3

Reordene $2 x$ e $- 2 x^{2}$ .

$| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$

Etapa 1.2.9.1.4

Divida cada termo em $| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.4.1

Divida cada termo em $| 1 - x | x = - 2 x^{2} + 2 x$ por $x$ .

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Etapa 1.2.9.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 1 - x | x}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Etapa 1.2.9.1.4.2.1.2

Divida $| 1 - x |$ por $1$ .

$| 1 - x | = \frac{- 2 x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x}$

Etapa 1.2.9.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x} + \frac{2 x}{x}$

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x^{1}} + \frac{2 x}{x}$

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$| 1 - x | = \frac{x (- 2 x)}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x}$

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$| 1 - x | = \frac{- 2 x}{1} + \frac{2 x}{x}$

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.1.2.5

Divida $- 2 x$ por $1$ .

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$| 1 - x | = - 2 x + \frac{2 x}{x}$

Etapa 1.2.9.1.4.3.1.2.2

Divida $2$ por $1$ .

$| 1 - x | = - 2 x + 2$

Etapa 1.2.9.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm (- 2 x + 2)$

Etapa 1.2.9.3

O resultado consiste nas partes positiva e negativa de $\pm$ .

$1 - x = - 2 x + 2$

$1 - x = - (- 2 x + 2)$

Etapa 1.2.9.4

Resolva $1 - x = - 2 x + 2$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.4.1.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$1 - x + 2 x = 2$

Etapa 1.2.9.4.1.2

Some $- x$ e $2 x$ .

$1 + x = 2$

Etapa 1.2.9.4.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = 2 - 1$

Etapa 1.2.9.4.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$x = 1$

Etapa 1.2.9.5

Consolide as soluções.

$x = 1$

Etapa 1.2.10

Encontre o domínio de $\frac{x}{| x |} - \frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Defina o denominador em $\frac{x}{| x |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| x | = 0$

Etapa 1.2.10.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.10.2.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.10.3

Defina o denominador em $\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| 1 - x | = 0$

Etapa 1.2.10.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.4.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm 0$

Etapa 1.2.10.4.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 1.2.10.4.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 1.2.10.4.4

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.4.4.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.10.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.10.4.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.10.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.4.4.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 1.2.10.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 1.2.11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 1.2.12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 1.2.12.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{- 2}{| - 2 |} - \frac{2 (1 - (- 2))}{| 1 - (- 2) |} = 0$

Etapa 1.2.12.1.3

O lado esquerdo $- 3$ é diferente do lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.2.12.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 1.2.12.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$\frac{0.5}{| 0.5 |} - \frac{2 (1 - (0.5))}{| 1 - (0.5) |} = 0$

Etapa 1.2.12.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é diferente do lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.2.12.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.2.12.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{4}{| 4 |} - \frac{2 (1 - (4))}{| 1 - (4) |} = 0$

Etapa 1.2.12.3.3

O lado esquerdo $3$ é diferente do lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.2.12.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Falso

Etapa 1.2.13

Como não há números que se enquadram no intervalo, essa desigualdade não tem solução.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{x}{| x |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| x | = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.2.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.3.3

Defina o denominador em $\frac{2 (1 - x)}{| 1 - x |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| 1 - x | = 0$

Etapa 1.3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - x = \pm 0$

Etapa 1.3.4.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 1.3.4.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 1.3.4.4

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.4.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.3.4.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.4.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 1.3.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = 0, x = 1$

Etapa 1.4

Avalie $| x | + 2 | 1 - x |$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$| 0 | + 2 | 1 - (0) |$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$0 + 2 | 1 - (0) |$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Subtraia $0$ de $1$ .

$0 + 2 | 1 |$

Etapa 1.4.1.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$| 1 | + 2 | 1 - (1) |$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$1 + 2 | 1 - (1) |$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + 2 | 1 - 1 |$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$1 + 2 | 0 |$

Etapa 1.4.2.2.1.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$1 + 2 \cdot 0$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 2), (1, 1)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$| - 2 | + 2 | 1 - (- 2) |$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$2 + 2 | 1 - (- 2) |$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 + 2 | 1 + 2 |$

Etapa 2.1.2.1.3

Some $1$ e $2$ .

$2 + 2 | 3 |$

Etapa 2.1.2.1.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$2 + 2 \cdot 3$

Etapa 2.1.2.1.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$2 + 6$

Etapa 2.1.2.2

Some $2$ e $6$ .

$8$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

$| 2 | + 2 | 1 - (2) |$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$2 + 2 | 1 - (2) |$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 + 2 | 1 - 2 |$

Etapa 2.2.2.1.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 + 2 | - 1 |$

Etapa 2.2.2.1.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2$

Etapa 2.2.2.2

Some $2$ e $2$ .

$4$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, 8), (2, 4)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, 8)$

Mínimo absoluto: $(1, 1)$

Etapa 4