Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ , $[- 4, 5]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 9$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- x^{2} + 9 = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 9$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.3.1

Divida $- 9$ por $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 1.2.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 1.2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 1.2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 1.2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 1.2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\frac{x}{x^{2} + 9}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} + 9}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{3}{9 + 9}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Some $9$ e $9$ .

$\frac{3}{18}$

Etapa 1.4.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ e $18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{18}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.2.1

Fatore $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Etapa 1.4.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Etapa 1.4.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$\frac{- 3}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{- 3}{9 + 9}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Some $9$ e $9$ .

$\frac{- 3}{18}$

Etapa 1.4.2.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{18}$

Etapa 1.4.2.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1.2.1

Fatore $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Etapa 1.4.2.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Etapa 1.4.2.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{6}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{6}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(3, \frac{1}{6}), (- 3, - \frac{1}{6})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$\frac{- 4}{{(- 4)}^{2} + 9}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{- 4}{16 + 9}$

Etapa 2.1.2.1.2

Some $16$ e $9$ .

$\frac{- 4}{25}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{25}$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $5$ por $x$ .

$\frac{5}{{(5)}^{2} + 9}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{5}{25 + 9}$

Etapa 2.2.2.2

Some $25$ e $9$ .

$\frac{5}{34}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 4, - \frac{4}{25}), (5, \frac{5}{34})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(3, \frac{1}{6})$

Mínimo absoluto: $(- 3, - \frac{1}{6})$

Etapa 4