Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x) - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x} - 1$ .

$\frac{1}{x} - 1$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{x} = 1$

Etapa 1.2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1$

Etapa 1.2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 1.2.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = 1$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 1.2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = 1$ por $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 1 x$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$1 = x$

Etapa 1.2.5

Reescreva a equação como $x = 1$ .

$x = 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $\ln (x) - x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\ln (1) - (1)$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0 - (1)$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\ln (0) - (0)$

Etapa 1.4.2.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(1, - 1)$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 1)$ na primeira derivada $\frac{1}{x} - 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

Etapa 2.2.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.2.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Etapa 2.2.2.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.2.2.7

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $\frac{1}{x} - 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.3.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.3.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

Etapa 2.3.2.4.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

Etapa 2.3.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

Etapa 2.3.2.6

A resposta final é $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Etapa 2.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 1$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 2.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = \ln (x) - x$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 4