Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 3$ , $[1, 4]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3 x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3.6

Combine $\frac{- 6}{2}$ e $x$ .

$x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.7.1

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.3.7.2.4

Divida $- 3 x$ por $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} - 3 x + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some $x^{2} - 3 x$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 3 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} - 3 x$ .

$x^{2} - 3 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 3 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 3$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{3}}{3} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2} + 3$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{3} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2} + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Divida $0$ por $3$ .

$0 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2} + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \frac{3 \cdot 0}{2} + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - \frac{0}{2} + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Divida $0$ por $2$ .

$0 - 0 + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + 3$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 3$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $0$ e $3$ .

$3$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$\frac{{(3)}^{3}}{3} - \frac{3 {(3)}^{2}}{2} + 3$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Multiplique $\frac{{(3)}^{3}}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(3)}^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(3)}^{2}}{2} + 3$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $\frac{{(3)}^{3}}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 {(3)}^{2}}{2} + 3$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $\frac{3 {(3)}^{2}}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - (\frac{3 {(3)}^{2}}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $\frac{3 {(3)}^{2}}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + 3$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Escreva $3$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Etapa 1.4.2.2.1.6

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.1.7

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.1.8

Reordene os fatores de $3 \cdot 2$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.1.9

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{6} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.1.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{6} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2 - 3 {(3)}^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{27 \cdot 2 - 3 {(3)}^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.3.2

Multiplique $27$ por $2$ .

$\frac{54 - 3 {(3)}^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.3.3

Multiplique ${(3)}^{2}$ por $3$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.3.3.1

Mova $3$ .

$\frac{54 - 3 (3 {(3)}^{2}) + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.3.3.2

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.3.3.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{54 - 3 (3^{1} {(3)}^{2}) + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{54 - 3 \cdot 3^{1 + 2} + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.3.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{54 - 3 \cdot 3^{3} + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.3.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{54 - 3 \cdot 27 + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.3.5

Multiplique $- 3$ por $27$ .

$\frac{54 - 81 + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 1.4.2.2.3.6

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{54 - 81 + 18}{6}$

Etapa 1.4.2.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.4.1

Subtraia $81$ de $54$ .

$\frac{- 27 + 18}{6}$

Etapa 1.4.2.2.4.2

Some $- 27$ e $18$ .

$\frac{- 9}{6}$

Etapa 1.4.2.2.4.3

Cancele o fator comum de $- 9$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.4.3.1

Fatore $3$ de $- 9$ .

$\frac{3 (- 3)}{6}$

Etapa 1.4.2.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.4.3.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3}{2}$

Etapa 1.4.2.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 3), (3, - \frac{3}{2})$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(3, - \frac{3}{2})$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{{(1)}^{3}}{3} - \frac{3 {(1)}^{2}}{2} + 3$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} - \frac{3 {(1)}^{2}}{2} + 3$

Etapa 3.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 1}{2} + 3$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 3$

Etapa 3.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} + 3$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{3}{2} + 3$

Etapa 3.1.2.2.3

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Etapa 3.1.2.2.4

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + 3$

Etapa 3.1.2.2.5

Escreva $3$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Etapa 3.1.2.2.6

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 3.1.2.2.7

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Etapa 3.1.2.2.8

Reordene os fatores de $3 \cdot 2$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Etapa 3.1.2.2.9

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Etapa 3.1.2.2.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Etapa 3.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 3.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{2 - 9 + 3 \cdot 6}{6}$

Etapa 3.1.2.4.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{2 - 9 + 18}{6}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

Subtraia $9$ de $2$ .

$\frac{- 7 + 18}{6}$

Etapa 3.1.2.5.2

Some $- 7$ e $18$ .

$\frac{11}{6}$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} - \frac{3 {(4)}^{2}}{2} + 3$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{64}{3} - \frac{3 {(4)}^{2}}{2} + 3$

Etapa 3.2.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 16}{2} + 3$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $3$ por $16$ .

$\frac{64}{3} - \frac{48}{2} + 3$

Etapa 3.2.2.1.4

Divida $48$ por $2$ .

$\frac{64}{3} - 1 \cdot 24 + 3$

Etapa 3.2.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$\frac{64}{3} - 24 + 3$

Etapa 3.2.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Escreva $- 24$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24}{1} + 3$

Etapa 3.2.2.2.2

Multiplique $\frac{- 24}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3$

Etapa 3.2.2.2.3

Multiplique $\frac{- 24}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + 3$

Etapa 3.2.2.2.4

Escreva $3$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1}$

Etapa 3.2.2.2.5

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.2.2.2.6

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{64 - 24 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.4.1

Multiplique $- 24$ por $3$ .

$\frac{64 - 72 + 3 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.2.2.4.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{64 - 72 + 9}{3}$

Etapa 3.2.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.5.1

Subtraia $72$ de $64$ .

$\frac{- 8 + 9}{3}$

Etapa 3.2.2.5.2

Some $- 8$ e $9$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(1, \frac{11}{6}), (4, \frac{1}{3})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, \frac{11}{6})$

Mínimo absoluto: $(3, - \frac{3}{2})$

Etapa 5