Cálculo Exemplos

$f (x) = | x |$

Etapa 1

A derivada de $| x |$ em relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $| x |$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.3

A derivada de $| x |$ em relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.4

Combine $\frac{x}{| x |}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.2.1

Para escrever $| x |$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.2.3.1

Multiplique $| x | | x |$ .

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Etapa 2.9.2.3.1.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.2.3.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.2.3.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.2.3.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.2.3.1.5

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.2.3.2

Remova os termos não negativos do valor absoluto.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.2.3.3

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.2.4

Divida $0$ por $| x |$ .

$f'' (x) = \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Etapa 2.9.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

Etapa 2.9.4

Divida $0$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x}{| x |} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

A derivada de $| x |$ em relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x}{| x |} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 5.3

Exclua as soluções que não tornam $\frac{x}{| x |} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{x}{| x |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| x | = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$0$

Etapa 9

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 9.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 9.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{x}{| x |}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 9.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.2.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{2}$

Etapa 9.2.2.2

Divida $- 2$ por $2$ .

$f' (- 2) = - 1$

Etapa 9.2.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 9.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $\frac{x}{| x |}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 9.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{2}{| 2 |}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.3.2.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{2}$

Etapa 9.3.2.2

Divida $2$ por $2$ .

$f' (2) = 1$

Etapa 9.3.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 9.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 10