Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Etapa 1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.10

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.11

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.12

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.13

Some $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $\frac{2}{x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 5.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 5.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 5.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - x^{2}$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 5.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 5.5.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, - 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{1}$

Etapa 9.2

Divida $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Divida $1$ por $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Etapa 11.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = 2$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{2}{- 1}$

Etapa 13.2

Divida $2$ por $- 1$ .

$- 2$

Etapa 14

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = (- 1) + \frac{1}{- 1}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 1$

Etapa 15.2.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 2$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

$(1, 2)$ é um mínimo local

$(- 1, - 2)$ é um máximo local

Etapa 17