Cálculo Exemplos

$g (x) = - x^{2} + 24 x - 109$ , $s i \cdot 8 \leq x \leq 14$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 24 x - 109$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 109]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$- 2 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 109]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 109$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 109$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x + 24 + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some $- 2 x + 24$ e $0$ .

$f' (x) = - 2 x + 24$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x + 24$ .

$- 2 x + 24$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x + 24 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x + 24 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 24$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 2 x = - 24$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 24$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 24}{- 2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 24}{- 2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $- 24$ por $- 2$ .

$x = 12$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $- x^{2} + 24 x - 109$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $12$ por $x$ .

$- {(12)}^{2} + 24 (12) - 109$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$- 1 \cdot 144 + 24 (12) - 109$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $144$ .

$- 144 + 24 (12) - 109$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $24$ por $12$ .

$- 144 + 288 - 109$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $- 144$ e $288$ .

$144 - 109$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $109$ de $144$ .

$35$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(12, 35)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 8 s i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $8 s i$ por $x$ .

$- {(8 s i)}^{2} + 24 (8 s i) - 109$

Etapa 3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 3.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $8 s i$ .

$- ({(8 s)}^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Etapa 3.1.2.1.2

Aplique a regra do produto a $8 s$ .

$- (8^{2} s^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Etapa 3.1.2.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$- (64 s^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- (64 s^{2} \cdot - 1) + 24 (8 s i) - 109$

Etapa 3.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$- (- 64 s^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Etapa 3.1.2.5

Multiplique $- 64$ por $- 1$ .

$64 s^{2} + 24 (8 s i) - 109$

Etapa 3.1.2.6

Multiplique $8$ por $24$ .

$64 s^{2} + 192 s i - 109$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 14$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $14$ por $x$ .

$- {(14)}^{2} + 24 (14) - 109$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $14$ à potência de $2$ .

$- 1 \cdot 196 + 24 (14) - 109$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $196$ .

$- 196 + 24 (14) - 109$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $24$ por $14$ .

$- 196 + 336 - 109$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Some $- 196$ e $336$ .

$140 - 109$

Etapa 3.2.2.2.2

Subtraia $109$ de $140$ .

$31$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(14, 31)$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Compare os valores de $g (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $g (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $g (x)$ .

Máximo absoluto: $(14, 31)$

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 6