Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - 6 x$ , $(3, 7]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 6 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x - 6$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - 6$ .

$2 x - 6$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - 6 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - 6 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$2 x = 6$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 x = 6$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 6$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $6$ por $2$ .

$x = 3$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{2} - 6 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

${(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 - 6 \cdot 3$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$9 - 18$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $18$ de $9$ .

$- 9$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(3, - 9)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 7$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $7$ por $x$ .

${(7)}^{2} - 6 \cdot 7$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$49 - 6 \cdot 7$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $7$ .

$49 - 42$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $42$ de $49$ .

$7$

Etapa 3.2

Liste todos os pontos.

$(7, 7)$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(7, 7)$

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 6