Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan^{-1} (x^{2})$ on $- 2$ , $2$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan^{-1} (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.1.2

A derivada de $\tan^{-1} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Etapa 1.1.1.2.3

Combine frações.

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Etapa 1.1.1.2.3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Etapa 1.1.1.2.3.2

Combine $\frac{2}{1 + x^{4}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Etapa 1.1.1.2.3.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\tan^{-1} (x^{2})$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\tan^{-1} ({(0)}^{2})$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\tan^{-1} (0)$

Etapa 1.4.1.2.2

O valor exato de $\tan^{-1} (0)$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 0)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\tan^{-1} ({(- 2)}^{2})$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\tan^{-1} ({(2)}^{2})$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Etapa 2.2.2.2

Avalie $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Etapa 4