Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - 2 x$ , $(0, 2)$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - 2 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 x = 2$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $2$ por $2$ .

$x = 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{2} - 2 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 2 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$1 - 2$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 1$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(1, - 1)$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 1)$ na primeira derivada $2 x - 2$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2$

Etapa 2.2.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $2 x - 2$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 2 (4) - 2$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (4) = 8 - 2$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $2$ de $8$ .

$f' (4) = 6$

Etapa 2.3.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 2.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um mínimo local.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(1, - 1)$

Etapa 4