Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 3}{4 + x}$ , $[- 4, 1]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 3$ e $g (x) = 4 + x$ .

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 + x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(4 + x) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(4 + x) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(4 + x) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $4 + x$ por $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3)}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 + x - x - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Combine os termos opostos em $4 + x - x - - 3$ .

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Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{4 + 0 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Some $4$ e $0$ .

$\frac{4 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Some $4$ e $3$ .

$\frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$7 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $7 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{x - 3}{4 + x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = - 4$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Remova os parênteses.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Etapa 1.4.1.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 4$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua $- 4$ por $x$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Etapa 2.1.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Etapa 2.1.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.2

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Remova os parênteses.

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{4 + 1}$

Etapa 2.2.2.3

Some $4$ e $1$ .

$\frac{- 2}{5}$

Etapa 2.2.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{5}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(1, - \frac{2}{5})$

Etapa 3

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, - \frac{2}{5})$

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 5