Cálculo Exemplos

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$ , $(4, - 7)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = - 7$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 5 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x - 5 - x - 1 \cdot 3$ .

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Etapa 1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 5 - 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Subtraia $3$ de $- 5$ .

$\frac{- 8}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$- \frac{8}{{((4) - 5)}^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $5$ de $4$ .

$- \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{8}{1}$

Etapa 1.5.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.2.1

Divida $8$ por $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 8$ e um ponto determinado $(4, - 7)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 7) = - 8 \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 8 \cdot (x - 4)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 7 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 7 = - 8 x - 8 \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$y + 7 = - 8 x + 32$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$y = - 8 x + 32 - 7$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $7$ de $32$ .

$y = - 8 x + 25$

Etapa 3