Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ ; $(- 1, - \frac{3}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = - \frac{3}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.6

Combine $\frac{- 6}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

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Etapa 1.2.7.1

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.7.2.4

Divida $- 3 x$ por $1$ .

$- 3 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 3 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x + 4 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $- 3 x + 4$ e $0$ .

$- 3 x + 4$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$- 3 \cdot - 1 + 4$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3 + 4$

Etapa 1.6.2

Some $3$ e $4$ .

$7$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $7$ e um ponto determinado $(- 1, - \frac{3}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{3}{2}) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $7 \cdot (x + 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + \frac{3}{2} = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $\frac{3}{2}$ dos dois lados da equação.

$y = 7 x + 7 - \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + 7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $7$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2 - 3}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$y = 7 x + \frac{14 - 3}{2}$

Etapa 2.3.2.5.2

Subtraia $3$ de $14$ .

$y = 7 x + \frac{11}{2}$

Etapa 3