Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{x}$ , $(2, \frac{1}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = \frac{1}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Etapa 1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$- \frac{1}{{(2)}^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{1}{4}$ e um ponto determinado $(2, \frac{1}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $2$ de $4$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Cancele o fator comum.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.5

Reescreva a expressão.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{- 1}{2}$ e $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- - 1}{2}$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- x}{4} + \frac{1 + 1}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{- x}{4} + \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.4.2

Divida $2$ por $2$ .

$y = - \frac{x}{4} + 1$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{4} x) + 1$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{4} x + 1$

Etapa 3