Cálculo Exemplos

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = \frac{1}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $1 + 11 x^{2}$ por $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 11 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x^{2}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $11$ por $- 1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.3.9

Multiplique $2$ por $- 11$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.8

Subtraia $22 x^{2}$ de $11 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.9

Combine $6$ e $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.2.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.10.2.2

Multiplique $- 11$ por $6$ .

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.10.3

Reordene os termos.

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.11

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12

Simplifique.

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Etapa 1.12.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.12.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.2

Multiplique $- 66$ por $1$ .

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.1.3

Some $- 66$ e $6$ .

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.12.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.2.2

Multiplique $11$ por $1$ .

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

Etapa 1.12.2.3

Some $11$ e $1$ .

$\frac{- 60}{12^{2}}$

Etapa 1.12.2.4

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$\frac{- 60}{144}$

Etapa 1.12.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.12.3.1

Cancele o fator comum de $- 60$ e $144$ .

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Etapa 1.12.3.1.1

Fatore $12$ de $- 60$ .

$\frac{12 (- 5)}{144}$

Etapa 1.12.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.12.3.1.2.1

Fatore $12$ de $144$ .

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Etapa 1.12.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Etapa 1.12.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 5}{12}$

Etapa 1.12.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{12}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{5}{12}$ e um ponto determinado $(1, \frac{1}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{5}{12}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- \frac{5}{12} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $\frac{5}{12}$ por $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

Etapa 2.3.1.6

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 2.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

Etapa 2.3.2.5

Some $5$ e $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

Etapa 3