Cálculo Exemplos

$y = x^{\sin (x)}$ , $x = 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{\sin (1)}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 1^{\sin (1)}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = {(1)}^{\sin (1)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique ${(1)}^{\sin (1)}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Avalie $\sin (1)$ .

$y = 1^{0.0174524}$

Etapa 1.2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 1$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $x^{\sin (x)}$ como $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Etapa 2.1.2

Expanda $\ln (x^{\sin (x)})$ movendo $\sin (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.5

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Etapa 2.7.2

Combine $e^{\sin (x) \ln (x)}$ e $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Etapa 2.7.3

Reordene os termos.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Etapa 2.8

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$e^{\sin (1) \ln (1)} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Etapa 2.9

Simplifique.

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Etapa 2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.9.1.1

Avalie $\sin (1)$ .

$e^{0.0174524 \ln (1)} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Etapa 2.9.1.2

Simplifique $0.0174524 \ln (1)$ movendo $0.0174524$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln (1^{0.0174524})} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Etapa 2.9.1.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$1^{0.0174524} \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Etapa 2.9.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 \cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Etapa 2.9.1.5

Multiplique $\cos (1)$ por $1$ .

$\cos (1) \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Etapa 2.9.1.6

Avalie $\cos (1)$ .

$0.99984769 \ln (1) + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Etapa 2.9.1.7

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0.99984769 \cdot 0 + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Etapa 2.9.1.8

Multiplique $0.99984769$ por $0$ .

$0 + \frac{e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)}{1}$

Etapa 2.9.1.9

Divida $e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)$ por $1$ .

$0 + e^{\sin (1) \ln (1)} \sin (1)$

Etapa 2.9.1.10

Avalie $\sin (1)$ .

$0 + e^{0.0174524 \ln (1)} \sin (1)$

Etapa 2.9.1.11

Simplifique $0.0174524 \ln (1)$ movendo $0.0174524$ para dentro do logaritmo.

$0 + e^{\ln (1^{0.0174524})} \sin (1)$

Etapa 2.9.1.12

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$0 + 1^{0.0174524} \sin (1)$

Etapa 2.9.1.13

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 + 1 \sin (1)$

Etapa 2.9.1.14

Multiplique $\sin (1)$ por $1$ .

$0 + \sin (1)$

Etapa 2.9.1.15

Avalie $\sin (1)$ .

$0 + 0.0174524$

Etapa 2.9.2

Some $0$ e $0.0174524$ .

$0.0174524$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $0.0174524$ e um ponto determinado $(1, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0.0174524 \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 0.0174524 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $0.0174524 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + 0.0174524 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = 0.0174524 \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = 0.0174524 x + 0.0174524 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $0.0174524$ por $- 1$ .

$y - 1 = 0.0174524 x - 0.0174524$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 0.0174524 x - 0.0174524 + 1$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 0.0174524$ e $1$ .

$y = 0.0174524 x + 0.98254759$

Etapa 4