Cálculo Exemplos

$x^{3} + y^{3} = 34 x y$ ; $(17, 17)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 17$ e $y = 17$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (34 x y)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $34$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $34 x y$ em relação a $x$ é $34 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$34 \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$34 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$34 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$34 (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 1.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$34 (x y' + y)$

Etapa 1.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$34 x y' + 34 y$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 34 x y' + 34 y$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Subtraia $34 x y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 34 x y' = 34 y$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' - 34 x y' = 34 y - 3 x^{2}$

Etapa 1.5.3

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' - 34 x y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 34 x y' = 34 y - 3 x^{2}$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $y'$ de $- 34 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 34 x) = 34 y - 3 x^{2}$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (- 34 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 34 x) = 34 y - 3 x^{2}$

Etapa 1.5.4

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} - 34 x) = 34 y - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} - 34 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} - 34 x) = 34 y - 3 x^{2}$ por $3 y^{2} - 34 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 34 x)}{3 y^{2} - 34 x} = \frac{34 y}{3 y^{2} - 34 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 34 x}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} - 34 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} - 34 x)}{3 y^{2} - 34 x} = \frac{34 y}{3 y^{2} - 34 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 34 x}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{34 y}{3 y^{2} - 34 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 34 x}$

Etapa 1.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{34 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 34 x}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{34 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 34 x}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 17$ e $y = 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $17$ na expressão.

$\frac{34 y - 3 {(17)}^{2}}{3 y^{2} - 34 \cdot 17}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $17$ na expressão.

$\frac{34 (17) - 3 {(17)}^{2}}{3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17}$

Etapa 1.7.3

Cancele o fator comum de $34 (17) - 3 {(17)}^{2}$ e $3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Reordene os termos.

$\frac{- 3 {(17)}^{2} + 17 \cdot 34}{3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17}$

Etapa 1.7.3.2

Fatore $17$ de $- 3 {(17)}^{2}$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17) + 17 \cdot 34}{3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17}$

Etapa 1.7.3.3

Fatore $17$ de $17 \cdot 34$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17) + 17 (34)}{3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17}$

Etapa 1.7.3.4

Fatore $17$ de $17 (- 3 \cdot 17) + 17 (34)$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17 + 34)}{3 {(17)}^{2} - 34 \cdot 17}$

Etapa 1.7.3.5

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.5.1

Fatore $17$ de $3 {(17)}^{2}$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17 + 34)}{17 (3 \cdot 17) - 34 \cdot 17}$

Etapa 1.7.3.5.2

Fatore $17$ de $- 34 \cdot 17$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17 + 34)}{17 (3 \cdot 17) + 17 (- 2 \cdot 17)}$

Etapa 1.7.3.5.3

Fatore $17$ de $17 (3 \cdot 17) + 17 (- 2 \cdot 17)$ .

$\frac{17 (- 3 \cdot 17 + 34)}{17 (3 \cdot 17 - 2 \cdot 17)}$

Etapa 1.7.3.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{17 (- 3 \cdot 17 + 34)}{17 (3 \cdot 17 - 2 \cdot 17)}$

Etapa 1.7.3.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 \cdot 17 + 34}{3 \cdot 17 - 2 \cdot 17}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Multiplique $- 3$ por $17$ .

$\frac{- 51 + 34}{3 \cdot 17 - 2 \cdot 17}$

Etapa 1.7.4.2

Some $- 51$ e $34$ .

$\frac{- 17}{3 \cdot 17 - 2 \cdot 17}$

Etapa 1.7.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.5.1

Multiplique $3$ por $17$ .

$\frac{- 17}{51 - 2 \cdot 17}$

Etapa 1.7.5.2

Multiplique $- 2$ por $17$ .

$\frac{- 17}{51 - 34}$

Etapa 1.7.5.3

Subtraia $34$ de $51$ .

$\frac{- 17}{17}$

Etapa 1.7.6

Divida $- 17$ por $17$ .

$- 1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $- 1$ e um ponto determinado $(17, 17)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (17) = - 1 \cdot (x - (17))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 17 = - 1 \cdot (x - 17)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $- 1 \cdot (x - 17)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 17 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 17)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 17 = - 1 \cdot (x - 17)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 17 = - 1 x - 1 \cdot - 17$

Etapa 2.3.1.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.1

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y - 17 = - x - 1 \cdot - 17$

Etapa 2.3.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 17$ .

$y - 17 = - x + 17$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $17$ aos dois lados da equação.

$y = - x + 17 + 17$

Etapa 2.3.2.2

Some $17$ e $17$ .

$y = - x + 34$

Etapa 3