Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ ; $x = 2$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{{(2^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{{({(2)}^{2} - 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 1)}^{3}}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$y = \frac{1}{3^{3}}$

Etapa 1.2.3.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y = \frac{1}{27}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = \frac{1}{27}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$ como ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{- 3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x + 0)$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- 3 {(x^{2} - 1)}^{- 4} (2 x)$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 {(x^{2} - 1)}^{- 4} x$

Etapa 2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Etapa 2.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Combine $- 6$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Etapa 2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}} x$

Etapa 2.5.3

Combine $x$ e $\frac{6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 2.5.4

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 2.6

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$- \frac{6 (2)}{{({(2)}^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$- \frac{12}{{(2^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 2.7.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{12}{{(4 - 1)}^{4}}$

Etapa 2.7.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$- \frac{12}{3^{4}}$

Etapa 2.7.2.3

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$- \frac{12}{81}$

Etapa 2.7.3

Cancele o fator comum de $12$ e $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Fatore $3$ de $12$ .

$- \frac{3 (4)}{81}$

Etapa 2.7.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.2.1

Fatore $3$ de $81$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Etapa 2.7.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Etapa 2.7.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{4}{27}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a inclinação $- \frac{4}{27}$ e um ponto determinado $(2, \frac{1}{27})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{27}) = - \frac{4}{27} \cdot (x - (2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique $- \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{1}{27} = 0 + 0 - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4}{27} x - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} - \frac{4}{27} \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- \frac{4}{27} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + 2 (\frac{4}{27})$

Etapa 3.3.1.5.2

Combine $2$ e $\frac{4}{27}$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{2 \cdot 4}{27}$

Etapa 3.3.1.5.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{x \cdot 4}{27} + \frac{8}{27}$

Etapa 3.3.1.6

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$y - \frac{1}{27} = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Some $\frac{1}{27}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{8}{27} + \frac{1}{27}$

Etapa 3.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 4 x + 8 + 1}{27}$

Etapa 3.3.2.3

Some $8$ e $1$ .

$y = \frac{- 4 x + 9}{27}$

Etapa 3.3.2.4

Divida a fração $\frac{- 4 x + 9}{27}$ em duas frações.

$y = \frac{- 4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9}{27}$

Etapa 3.3.2.5.2

Cancele o fator comum de $9$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 (1)}{27}$

Etapa 3.3.2.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.2.2.1

Fatore $9$ de $27$ .

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{4 x}{27} + \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{4}{27} x) + \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{4}{27} x + \frac{1}{3}$

Etapa 4