Cálculo Exemplos

$f (x) = - 2 - \cos (x)$ at $x = - \frac{π}{4}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 1.1

Substitua $- \frac{π}{4}$ por $x$ .

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 2 - \cos (- \frac{π}{4})$

Etapa 1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$y = - 2 - \cos (\frac{7 π}{4})$

Etapa 1.2.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$y = - 2 - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 1.2.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - \frac{π}{4}$ e $y = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 2.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = - \frac{π}{4}$ .

$\sin (- \frac{π}{4})$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sin (\frac{7 π}{4})$

Etapa 2.5.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.5.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ e um ponto determinado $(- \frac{π}{4}, - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 + 0 - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x + \frac{π}{4})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 3.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$y + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dos dois lados da equação.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} - 2 \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2}}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 2 \cdot 8}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.3.4

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.3.5

Para escrever $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.3.3.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.3.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.3.3.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16}{8} - \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Etapa 3.3.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Etapa 3.3.3.8

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- π \sqrt{2} - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.3.3.9

Fatore $- 1$ de $- π \sqrt{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 16 - 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.3.3.10

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2}) - 1 (16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.3.3.11

Fatore $- 1$ de $- (π \sqrt{2}) - 1 (16)$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.3.3.12

Fatore $- 1$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})}{8}$

Etapa 3.3.3.13

Fatore $- 1$ de $- (π \sqrt{2} + 16) - (4 \sqrt{2})$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

Etapa 3.3.3.14

Reescreva $- (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ como $- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 (π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2})}{8}$

Etapa 3.3.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2} - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.3.3.16

Reordene os termos.

$y = - (\frac{\sqrt{2}}{2} x) - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 3.3.3.17

Remova os parênteses.

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{π \sqrt{2} + 16 + 4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4