Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ ; $x = 2$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 2$ .

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Etapa 1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Etapa 1.2.3

Simplifique $(2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = 2 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{8}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$y = 2 {(4 - 8 + 5)}^{8}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.2.1

Subtraia $8$ de $4$ .

$y = 2 {(- 4 + 5)}^{8}$

Etapa 1.2.3.2.2

Some $- 4$ e $5$ .

$y = 2 \cdot 1^{8}$

Etapa 1.2.3.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = 2 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = 2$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4 x + 5$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8} \cdot 1$

Etapa 2.3.9

Multiplique ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ por $1$ .

$x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Etapa 2.4

Fatore ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ de $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ de $x (8 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (2 x - 4))$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$

Etapa 2.4.2

Fatore ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ de ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{8}$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$

Etapa 2.4.3

Fatore ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ de ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4))) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x^{2} - 4 x + 5)$ .

${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} (x (8 (2 x - 4)) + x^{2} - 4 x + 5)$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = 2$ .

${({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

${(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

${(4 - 8 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Etapa 2.6.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.2.1

Subtraia $8$ de $4$ .

${(- 4 + 5)}^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Etapa 2.6.2.2

Some $- 4$ e $5$ .

$1^{7} ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Etapa 2.6.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 ((2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Etapa 2.6.2.4

Multiplique $(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$ por $1$ .

$(2) (8 (2 (2) - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Etapa 2.6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (8 (4 - 4)) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Etapa 2.6.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$2 (8 \cdot 0) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Etapa 2.6.3.3

Multiplique $2 (8 \cdot 0)$ .

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Etapa 2.6.3.3.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$2 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Etapa 2.6.3.3.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5$

Etapa 2.6.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5$

Etapa 2.6.3.5

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$0 + 4 - 8 + 5$

Etapa 2.6.4

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.6.4.1

Some $0$ e $4$ .

$4 - 8 + 5$

Etapa 2.6.4.2

Subtraia $8$ de $4$ .

$- 4 + 5$

Etapa 2.6.4.3

Some $- 4$ e $5$ .

$1$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $1$ e um ponto determinado $(2, 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$y - 2 = x - 2$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = x - 2 + 2$

Etapa 3.3.2.2

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Some $- 2$ e $2$ .

$y = x + 0$

Etapa 3.3.2.2.2

Some $x$ e $0$ .

$y = x$

Etapa 4