Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 6 x + 9$ , at $x = 2$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = 2$ .

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Etapa 1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 1.2.3

Simplifique ${(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$ .

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$y = 4 - 12 + 9$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Subtraia $12$ de $4$ .

$y = - 8 + 9$

Etapa 1.2.3.2.2

Some $- 8$ e $9$ .

$y = 1$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - 6 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$2 x - 6$

Etapa 2.4

Avalie a derivada em $x = 2$ .

$2 (2) - 6$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 - 6$

Etapa 2.5.2

Subtraia $6$ de $4$ .

$- 2$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 2$ e um ponto determinado $(2, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- 2 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 2$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y - 1 = - 2 x + 4$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - 2 x + 4 + 1$

Etapa 3.3.2.2

Some $4$ e $1$ .

$y = - 2 x + 5$

Etapa 4