Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x - 3}$ ; $x = - 1$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = - 1$ .

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Etapa 1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{- 1 - 3}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Etapa 1.2.3

Simplifique $\frac{1}{(- 1) - 3}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$y = \frac{1}{- 4}$

Etapa 1.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{4}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = - \frac{1}{4}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.3.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \cdot 1$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2}$

Etapa 2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$- \frac{1}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.1

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{{(- 4)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{16}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- \frac{1}{16}$ e um ponto determinado $(- 1, - \frac{1}{4})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (- 1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y + \frac{1}{4} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot 1$

Etapa 3.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{16}$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $\frac{1}{4}$ dos dois lados da equação.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $- \frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.3.2.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{16}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 1 - 4}{16}$

Etapa 3.3.2.5

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 5}{16}$

Etapa 3.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{5}{16}$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{16} x) - \frac{5}{16}$

Etapa 3.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{16} x - \frac{5}{16}$

Etapa 4