Cálculo Exemplos

$\frac{1}{1 + x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{1 + x^{2}}$ como uma equação.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = \frac{1}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Etapa 2.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$- \frac{2 (1)}{{(1 + {(1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{2}{{(1 + 1^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{2}{{(1 + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.2.2

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{2}{2^{2}}$

Etapa 2.6.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{2}{4}$

Etapa 2.6.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 2.6.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4}$

Etapa 2.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- \frac{1}{2}$ e um ponto determinado $(1, \frac{1}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.3.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- x + 1 + 1}{2}$

Etapa 3.3.2.3

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{- x + 2}{2}$

Etapa 3.3.2.4

Divida a fração $\frac{- x + 2}{2}$ em duas frações.

$y = \frac{- x}{2} + \frac{2}{2}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{2}{2}$

Etapa 3.3.2.5.2

Divida $2$ por $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + 1$

Etapa 3.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 3.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 1$

Etapa 3.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{2} x + 1$

Etapa 4