Cálculo Exemplos

$y = - \frac{1}{x^{3}}$ , $(- 1, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Multiplique $\frac{1}{x^{3}}$ por $0$ .

$3 x^{- 4} + 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $3 x^{- 4}$ e $0$ .

$3 x^{- 4}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 1.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{3}{x^{4}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$\frac{3}{{(- 1)}^{4}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$\frac{3}{1}$

Etapa 1.5.2

Divida $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $3$ e um ponto determinado $(- 1, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (- 1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $3 \cdot (x + 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + 3 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = 3 x + 3 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$y - 1 = 3 x + 3$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 3 x + 3 + 1$

Etapa 2.3.2.2

Some $3$ e $1$ .

$y = 3 x + 4$

Etapa 3