Cálculo Exemplos

Given: $x^{2} = y^{4}$ Find the equation of the tangent line at $(9, 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 9$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y^{3} y'$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x = 4 y^{3} y'$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Reescreva a equação como $4 y^{3} y' = 2 x$ .

$4 y^{3} y' = 2 x$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $4 y^{3} y' = 2 x$ por $4 y^{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $4 y^{3} y' = 2 x$ por $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

Etapa 1.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 9$ e $y = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$\frac{9}{2 y^{3}}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $3$ na expressão.

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

Etapa 1.7.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

Etapa 1.7.3.2

Multiplique $2$ por $27$ .

$\frac{9}{54}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $9$ e $54$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Fatore $9$ de $9$ .

$\frac{9 (1)}{54}$

Etapa 1.7.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.1

Fatore $9$ de $54$ .

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Etapa 1.7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Etapa 1.7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{6}$ e um ponto determinado $(9, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{6}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $3$ de $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 3$ e $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Etapa 3