Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ at the point $(4, \frac{5}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4$ e $y = \frac{5}{2}$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Etapa 1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{- 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 2})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Etapa 1.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Etapa 1.4.4

Reordene os termos.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = 4$ .

$- \frac{2}{{(4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{2}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.1.2

Cancele o fator comum de $2$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.2.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.6.1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.6.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 1.6.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Etapa 1.6.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{1 + 1}}$

Etapa 1.6.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 1.6.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

Etapa 1.6.2

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.6.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.6.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

Etapa 1.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 2}{8}$

Etapa 1.6.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{1}{8}$ e um ponto determinado $(4, \frac{5}{2})$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{1}{8}$ e $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $\frac{5}{2}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 2.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 + 5}{2}$

Etapa 2.3.2.3

Some $- 1$ e $5$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{4}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Divida $4$ por $2$ .

$y = \frac{x}{8} + 2$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{8} x + 2$

Etapa 3