Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{4}$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 1.3

Reordene os fatores de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3.5

Some $1$ e $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.5.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.3.6.5

Avalie o expoente.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.4.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.5.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.5.4.1

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.4.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.5.5

Avalie o expoente.

$2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \tan (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5.7

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 1.5.8

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $4$ e um ponto determinado $(\frac{π}{4}, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $4 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = 4 x + 4 (- \frac{π}{4})$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{4}$ para o numerador.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Etapa 2.3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Etapa 2.3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y - 1 = 4 x - π$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 4 x - π + 1$

Etapa 3