Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x^{4})$ ; $x = e^{5}$

Etapa 1

Encontre o valor $y$ correspondente para $x = e^{5}$ .

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Etapa 1.1

Substitua $e^{5}$ por $x$ .

$y = \ln ({(e^{5})}^{4})$

Etapa 1.2

Resolva $y$ .

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Etapa 1.2.1

Remova os parênteses.

$y = \ln ({(e^{5})}^{4})$

Etapa 1.2.2

Simplifique $\ln ({(e^{5})}^{4})$ .

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{5})}^{4}$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \ln (e^{5 \cdot 4})$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$y = \ln (e^{20})$

Etapa 1.2.2.2

Use as regras logarítmicas para mover $20$ para fora do expoente.

$y = 20 \ln (e)$

Etapa 1.2.2.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y = 20 \cdot 1$

Etapa 1.2.2.4

Multiplique $20$ por $1$ .

$y = 20$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = e^{5}$ e $y = 20$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

Etapa 2.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

Etapa 2.2.2.2

Combine $\frac{4}{x^{4}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2.3

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Etapa 2.2.2.3.1

Fatore $x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

Etapa 2.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.3.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Etapa 2.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Etapa 2.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{x}$

Etapa 2.3

Avalie a derivada em $x = e^{5}$ .

$\frac{4}{e^{5}}$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $\frac{4}{e^{5}}$ e um ponto determinado $(e^{5}, 20)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (20) = \frac{4}{e^{5}} \cdot (x - (e^{5}))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 20 = \frac{4}{e^{5}} \cdot (x - e^{5})$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\frac{4}{e^{5}} \cdot (x - e^{5})$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y - 20 = 0 + 0 + \frac{4}{e^{5}} \cdot (x - e^{5})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 20 = \frac{4}{e^{5}} \cdot (x - e^{5})$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 20 = \frac{4}{e^{5}} x + \frac{4}{e^{5}} (- e^{5})$

Etapa 3.3.1.4

Combine $\frac{4}{e^{5}}$ e $x$ .

$y - 20 = \frac{4 x}{e^{5}} + \frac{4}{e^{5}} (- e^{5})$

Etapa 3.3.1.5

Cancele o fator comum de $e^{5}$ .

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Etapa 3.3.1.5.1

Fatore $e^{5}$ de $- e^{5}$ .

$y - 20 = \frac{4 x}{e^{5}} + \frac{4}{e^{5}} (e^{5} \cdot - 1)$

Etapa 3.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$y - 20 = \frac{4 x}{e^{5}} + \frac{4}{e^{5}} (e^{5} \cdot - 1)$

Etapa 3.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$y - 20 = \frac{4 x}{e^{5}} + 4 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y - 20 = \frac{4 x}{e^{5}} - 4$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $20$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{4 x}{e^{5}} - 4 + 20$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 4$ e $20$ .

$y = \frac{4 x}{e^{5}} + 16$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{4}{e^{5}} x + 16$

Etapa 4