Cálculo Exemplos

$2 x y - 2 x + y = - 14$ ; $(2, - 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = - 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x y - 2 x + y) = \frac{d}{d x} (- 14)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y - 2 x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x y' + y) - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x y' + y) - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 (x y' + y) - 2 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x y' + y) - 2 + y'$

Etapa 1.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x y' + 2 y - 2 + y'$

Etapa 1.3

Como $- 14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 14$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x y' + 2 y - 2 + y' = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x y' - 2 + y' = - 2 y$

Etapa 1.5.1.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 x y' + y' = - 2 y + 2$

Etapa 1.5.2

Fatore $y'$ de $2 x y' + y'$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $y'$ de $2 x y'$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Etapa 1.5.2.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' (2 x) + y' = - 2 y + 2$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (2 x) + y' \cdot 1 = - 2 y + 2$

Etapa 1.5.2.4

Fatore $y'$ de $y' (2 x) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$

Etapa 1.5.3

Divida cada termo em $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ por $2 x + 1$ e simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Divida cada termo em $y' (2 x + 1) = - 2 y + 2$ por $2 x + 1$ .

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 x + 1)}{2 x + 1} = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 y + 2}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.3.2

Fatore $2$ de $- 2 y + 2$ .

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Etapa 1.5.3.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.3.2.2

Fatore $2$ de $2$ .

$y' = \frac{2 (- y) + 2 (1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (- y) + 2 (1)$ .

$y' = \frac{2 (- y + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{2 (- (y) + 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.3.4

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y) - 1 (- 1))}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- (y - 1))}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.3.3.6.1

Reescreva $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (y - 1))}{2 x + 1}$

Etapa 1.5.3.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (y - 1)}{2 x + 1}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 2$ e $y = - 2$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$- \frac{2 (y - 1)}{2 (2) + 1}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $- 2$ na expressão.

$- \frac{2 ((- 2) - 1)}{2 (2) + 1}$

Etapa 1.7.3

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{2 (2) + 1}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{4 + 1}$

Etapa 1.7.4.2

Some $4$ e $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 3}{5}$

Etapa 1.7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- \frac{- 6}{5}$

Etapa 1.7.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{6}{5}$

Etapa 1.7.6

Multiplique $- - \frac{6}{5}$ .

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Etapa 1.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{6}{5})$

Etapa 1.7.6.2

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $1$ .

$\frac{6}{5}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{6}{5}$ e um ponto determinado $(2, - 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = \frac{6}{5} \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{6}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 2 = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 2 = \frac{6}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 2 = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{6}{5}$ e $x$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{6}{5}$ e $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 2}{5}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$y + 2 = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12}{5}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + 2 = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 2 \cdot 5}{5}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 12 - 10}{5}$

Etapa 2.3.2.5.2

Subtraia $10$ de $- 12$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 22}{5}$

Etapa 2.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{22}{5}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{6}{5} x - \frac{22}{5}$

Etapa 3