Cálculo Exemplos

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, 2 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = \frac{π}{6}$ e $y = 2 (\frac{\sqrt{3}}{3})$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 1.2

Avalie a derivada em $x = \frac{π}{6}$ .

$\sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{6})$ é $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 1.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.4

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.3.5

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.3.5.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.3.5.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.3.5.6

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Etapa 1.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Etapa 1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Etapa 1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Etapa 1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Etapa 1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot 3^{1}}{9}$

Etapa 1.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \cdot 3}{9}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{9}$

Etapa 1.3.8

Cancele o fator comum de $6$ e $9$ .

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Etapa 1.3.8.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Etapa 1.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.8.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{2}{3}$ e um ponto determinado $(\frac{π}{6}, 2 (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 (\frac{\sqrt{3}}{3})) = \frac{2}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Etapa 2.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{6}$ para o numerador.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Etapa 2.3.1.5.2

Fatore $2$ de $6$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Etapa 2.3.1.5.3

Cancele o fator comum.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.1.5.4

Reescreva a expressão.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{- π}{3}$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.3.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.7.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{9}$

Etapa 2.3.1.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9}$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para escrever $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.3.3.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Etapa 2.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 6 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 2.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- π$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) + 6 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 2.3.3.6

Fatore $- 1$ de $6 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) - (- 6 \sqrt{3})}{9}$

Etapa 2.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- (π) - (- 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Etapa 2.3.3.8

Reescreva $- (π - 6 \sqrt{3})$ como $- 1 (π - 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 1 (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Etapa 2.3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 2.3.3.10

Reordene os termos.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 3