Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ ; , $(- 1, 6)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 1$ e $y = 6$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.3

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Etapa 1.2.6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.6.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.10.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.12

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.13

Combine $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.14

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.14.1

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.14.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.14.4

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.14.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.15

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.16

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.17

Combine $- 5$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.18

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{- 10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}} - 1$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$- 1 - \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.5

Avalie a derivada em $x = - 1$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.6.1.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.6.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 1.6.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.6.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 1.6.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- 1 - \frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

Etapa 1.6.1.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$- 1 - \frac{10}{3 \cdot - 1}$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 1 - \frac{10}{- 3}$

Etapa 1.6.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 1 - - \frac{10}{3}$

Etapa 1.6.1.4

Multiplique $- - \frac{10}{3}$ .

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Etapa 1.6.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 1 + 1 (\frac{10}{3})$

Etapa 1.6.1.4.2

Multiplique $\frac{10}{3}$ por $1$ .

$- 1 + \frac{10}{3}$

Etapa 1.6.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}$

Etapa 1.6.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}$

Etapa 1.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 10}{3}$

Etapa 1.6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 + 10}{3}$

Etapa 1.6.5.2

Some $- 3$ e $10$ .

$\frac{7}{3}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{7}{3}$ e um ponto determinado $(- 1, 6)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{7}{3} \cdot (x - (- 1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{7}{3} \cdot (x + 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 6 = \frac{7}{3} \cdot (x + 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 6 = \frac{7}{3} x + \frac{7}{3} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{7}{3}$ e $x$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} \cdot 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{7}{3}$ por $1$ .

$y - 6 = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $6$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 6 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{7 + 18}{3}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $7$ e $18$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{25}{3}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{25}{3}$

Etapa 3