Cálculo Exemplos

$x^{2} + 4 x y + y^{2} = 13$ , $(2, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (13)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x y + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 y y'$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 4 (x y') + 4 y + 2 y y'$

Etapa 1.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x + 4 x y' + 4 y + 2 y y'$

Etapa 1.2.4.3

Reordene os termos.

$4 x y' + 2 y y' + 2 x + 4 y$

Etapa 1.3

Como $13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 x y' + 2 y y' + 2 x + 4 y = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$4 x y' + 2 y y' + 4 y = - 2 x$

Etapa 1.5.1.2

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$4 x y' + 2 y y' = - 2 x - 4 y$

Etapa 1.5.2

Fatore $2 y'$ de $4 x y' + 2 y y'$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $2 y'$ de $4 x y'$ .

$2 y' (2 x) + 2 y y' = - 2 x - 4 y$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' (2 x) + 2 y' y = - 2 x - 4 y$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' (2 x) + 2 y' y$ .

$2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$

Etapa 1.5.3

Divida cada termo em $2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$ por $2 (2 x + y)$ e simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Divida cada termo em $2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$ por $2 (2 x + y)$ .

$\frac{2 y' (2 x + y)}{2 (2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (2 x + y)}{2 (2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $2 x + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x}{2 x + y} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.3.1

Fatore $2$ de $- 4 y$ .

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (2 x + y)}$

Etapa 1.5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{- 2 y}{2 x + y}$

Etapa 1.5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} - \frac{2 y}{2 x + y}$

Etapa 1.5.3.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- x - 2 y}{2 x + y}$

Etapa 1.5.3.3.2.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2 y}{2 x + y}$

Etapa 1.5.3.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (2 y)}{2 x + y}$

Etapa 1.5.3.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 2 y)}{2 x + y}$

Etapa 1.5.3.3.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.2.5.1

Reescreva $- (x + 2 y)$ como $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2 y)}{2 x + y}$

Etapa 1.5.3.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x + 2 y}{2 x + y}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2 y}{2 x + y}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 2$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$- \frac{(2) + 2 y}{2 (2) + y}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$- \frac{(2) + 2 (1)}{2 (2) + 1}$

Etapa 1.7.3

Remova os parênteses.

$- \frac{(2) + 2 (1)}{2 (2) + 1}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{2 + 2}{2 (2) + 1}$

Etapa 1.7.4.2

Some $2$ e $2$ .

$- \frac{4}{2 (2) + 1}$

Etapa 1.7.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{4}{4 + 1}$

Etapa 1.7.5.2

Some $4$ e $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- \frac{4}{5}$ e um ponto determinado $(2, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

Etapa 2.3.1.5.2

Combine $2$ e $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

Etapa 2.3.1.5.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

Etapa 2.3.1.6

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

Etapa 2.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

Etapa 2.3.2.4

Some $8$ e $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Etapa 2.3.3

Escreva na forma $y = m x + b$ .

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Etapa 2.3.3.1

Reordene os termos.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

Etapa 2.3.3.2

Remova os parênteses.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

Etapa 3