Cálculo Exemplos

$y = e^{3 x}$ , $(0, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 0$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1)$

Etapa 1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3$

Etapa 1.2.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x}$

Etapa 1.3

Avalie a derivada em $x = 0$ .

$3 e^{3 (0)}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$3 e^{0}$

Etapa 1.4.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $3$ e um ponto determinado $(0, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 3 \cdot (x - (0))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = 3 \cdot (x + 0)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$y - 1 = 3 x$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 3 x + 1$

Etapa 3